并行线性方程组求解：格拉姆-施密特正交化与贪心行处理法

"这篇论文是2008年4月发表在《山东大学学报(理学版)》上的，作者是曾宪雯和李安志。文章主要研究了一种结合了格拉姆-施密特正交化、行处理法贪心方法和分治策略的并行算法，用于解决任意线性代数方程组。它探讨了这种方法的收敛性、计算复杂度和数值稳定性，并展望了其在消息传递并行算法中的应用潜力。" 线性方程组的并行处理已经成为高效解决大规模问题的关键技术。在本文中，作者提出了一种创新的并行算法，该算法结合了几种不同的方法来优化求解过程。首先，格拉姆-施密特正交化是一种在数值线性代数中广泛使用的算法，用于将一组向量转化为一组正交或或thonormal向量。在这个过程中，通过迭代地投影向量到已正交化的向量集合上，可以构建出一个正交基，从而简化线性方程组的表示。 其次，行处理法贪心方法是一种策略，它不是一次性处理整个方程组，而是逐行地进行操作。这种策略可以有效地分解问题，使得并行计算成为可能。贪心方法通常意味着在每个步骤中采取局部最优决策，以期望全局最优结果。在处理线性方程组时，这意味着每次处理一行以逐步逼近解。 再者，分治策略是计算机科学中解决复杂问题的经典方法，它将大问题拆分为更小的子问题，然后分别解决，最后将子问题的解组合成原问题的解。在求解线性方程组的背景下，分治策略可能涉及到将矩阵分解为更小的部分，然后并行地求解这些部分，最后整合结果。 论文证明了这个并行算法对于任意相容性线性代数方程组都能收敛，这意味着无论方程组的大小和复杂程度如何，只要满足一定的条件，该算法都能找到正确的解。同时，作者还分析了算法的计算复杂度，这关系到算法运行的时间效率。数值稳定性则是衡量算法在处理浮点运算时对小误差的敏感程度，一个稳定的算法即使在存在微小计算误差的情况下也能得到可靠的解。 最后，论文讨论了这种方法在线性代数方程组的消息传递并行算法中的应用前景。消息传递并行算法是分布式计算系统中常用的一种方式，通过节点间的通信协调来执行并行任务。作者可能探讨了如何在这样的环境中实施提出的算法，以及如何通过并行化来提高计算效率和扩展性。 这篇论文为并行计算提供了一个新的视角，特别是在处理大型线性代数问题时，它结合了多种策略以实现高效的并行求解。这种综合方法不仅有助于提升计算性能，还有可能降低计算成本，对于现代计算科学与工程领域的研究具有重要价值。