算法设计与分析基础习题解答：欧几里得算法与方程解法

"这篇资料是关于《算法设计与分析基础》一书的习题参考答案，由潘彦翻译的第二版。内容涵盖算法的基础概念、欧几里得算法、算法效率分析以及数值计算等问题，包括农夫过河、过桥问题、二次方程求解和数制转换等经典算法实例。" 1. 欧几里得算法（Euclid's Algorithm）是求解两个正整数最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）的算法。根据题目中的描述，其基本原理是：gcd(m, n) = gcd(n, m mod n)，即最大公约数等于较小数和两数相除余数的最大公约数。这个算法在处理任何一对正整数时，若第一个数小于第二个数，算法会通过交换两者来保持m小于或等于n，这种交换只会发生一次。 2. 对于1≤m, n≤10的所有输入，欧几里得算法最少做一次除法就能得到结果，因为当两个数相差不大时，可能一次就找到余数为0的情况。而最多需要做五次除法，例如当m和n分别为9和1时，需要进行五次除法才能得到gcd(9, 1) = 1。 3. 农夫过河问题是一个经典的逻辑谜题，农夫需要将自己、一只狼、一只山羊和一棵白菜安全地送到河对岸。关键在于不能让狼单独与山羊或白菜在一起，否则会发生不可预知的后果。这个问题需要设计一个有效的策略，确保每次转移时所有生物的安全。 4. 过桥问题是另一种逻辑问题，四个人需要借助一个手电筒过桥，每次只能两个人同时过桥，且速度不同。需要找出最短的过桥时间。解决这类问题通常需要构建状态空间并运用动态规划或回溯法。 5. 二次方程求解的算法，如Quadratic(a, b, c)，首先判断二次项系数a是否为0，如果不是，计算判别式D=b²-4ac。当D>0时，有两个实根；D=0时，有一个实根；D<0时，无实根。然后分别根据判别式的值返回相应的根。如果a=0，则检查b是否为0，进一步确定解的情况。 6. 十进制整数转换为二进制整数的算法，通常采用除2取余法。算法的基本思想是将十进制数不断除以2，记录每次的余数，直到商为0。将所有余数从下到上排列，即得到对应的二进制表示。伪代码如下： ``` Procedure DecimalToBinary(n) Initialize an empty string: binaryString While n > 0 do remainder = n mod 2 Append remainder to the front of binaryString n = n / 2 End While Return binaryString End Procedure ``` 以上内容详尽阐述了算法设计与分析基础中的部分习题解答，涵盖了算法的基本操作、逻辑思维和数学推理，对于理解和应用算法具有重要意义。