双割线折线法解决不定信赖域子问题的理论与实验验证

本文主要探讨的是"一种求解不定信赖域子问题的双割线折线法"，发表在2011年的《太原科技大学学报》第32卷第6期。作者邵安和王希云针对在优化问题中的不确定情况，即Hessian矩阵Bk不固定的情况下，提出了创新的方法。通常在信赖域方法中，目标是解决无约束优化问题，通过每次迭代求解信赖域子问题，即最小化函数qk，它涉及到函数梯度gk和一个信赖域半径6k。子问题的求解通常采用折线法，如单折线法、双折线法等，但这些方法的前提假设是Bk为正定矩阵。 在传统的折线法中，如Powell的单折线法和Dennis-Mei的双折线法，它们依赖于矩阵的正定性来保证路径的收敛性。然而，当Bk变得不定时，这些方法不再适用。为解决这个问题，陈俊首先引入了不定折线路径，用于非单调自适应信赖域算法，随后赵丹和郭飞艳等人进一步发展了混合折线法以及带有线搜索的自适应算法，以应对这类复杂性。 本文的贡献在于，作者基于Bunch-Parlett分解构建了一种双割线折线法，这种方法不仅适用于Bk的不确定情况，而且能够更有效地逼近牛顿方向。论文不仅从理论角度分析了双割线折线路径在Bk不定时的合理性，还提供了算法的收敛性分析。通过详细的数值试验，研究结果证实了新算法的有效性。整个研究得到了山西省自然科学基金的支持，其成果对于处理优化问题中的不确定性和非正定性挑战具有重要意义，拓展了信赖域方法在实际应用中的适应性。