离散时滞Lotka-Volterra竞争系统正周期解的Krasnoselskii不动点定理应用

本文探讨了离散时滞Lotka-Volterra竞争系统的正周期解存在性问题，由周英告和唐先华两位作者在《Existence of Positive Periodic Solutions of Discrete Delay Lotka-Volterra Competition Systems》一文中提出。他们利用Krasnoselskii不动点定理对该类系统进行了深入研究。具体而言，系统定义为： \[ \begin{cases} x_i(n+1) = x_i(n) + r_i(n) + \displaystyle\sum_{j=1}^{l} a_{ij}(n)x_j(n-\tau_{ij}(n)), \\ i = 1,2,\ldots,l, \end{cases} \] 其中，\( r_i(n), a_{ij}(n): Z \rightarrow \mathbb{R}_+ \) 是非负实数函数，\( \tau_{ij}(n): Z \rightarrow Z \) 是 \( \omega \)-周期函数，\( \omega \) 可能取值为 1 或 2。系统的核心是关于线性方程组的存在性研究： \[ \bar{a}_{ij}x_j = c_i, \quad i = 1,2,\ldots,l, \] 其中 \( \bar{a}_{ij} = \frac{1}{\omega}\sum_{s=0}^{\omega-1} a_{ij}(s) \)，\( c_i \) 是正常数。若该线性方程组有正解，则根据Krasnoselskii不动点定理，原离散时滞Lotka-Volterra竞争系统具有至少一个正周期解。 文章的贡献在于提供了一种有效的方法来验证这类系统中正周期解的存在，这对于理解和应用数学生态学中的延迟差分方程模型至关重要。该研究的结果对于理解生物种群动态、资源竞争和环境影响等方面的问题具有实际意义，因为它表明即使面对时滞影响，系统仍然可能维持稳定且正向的周期性行为。此外，由于它是首发论文，它还可能启发后续研究者对离散时间动力系统中的其他复杂行为进行探索。