算法竞赛数论：0x50筛法与线性筛详析

"本文主要介绍了算法竞赛中用于数论计算的几种高效筛法，包括0x50筛法、0x51线性筛法及其变种，如求欧拉函数、莫比乌斯函数、约数个数函数和约数和函数。同时提到了杜教筛和Min_25筛等其他筛法，这些方法常用于解决ACM/OI/MO等算法竞赛中的数论问题。" 《算法竞赛中的初等数论》第五部分详细阐述了筛法在算法竞赛中的应用，特别是针对质数筛选和积性函数的计算。0x50筛法是一种高效的筛选质数的方法，其核心思想是在筛选过程中，每个合数只被其最小质因子筛一次，确保了线性的运行时间复杂度。 线性筛法在此基础上进一步扩展，不仅用于找出所有质数，还可以计算与质数相关的积性函数。0x51线性筛法可以用来求解欧拉函数（φ(n)）。欧拉函数表示小于等于n且与n互质的正整数的数量。线性筛法在处理合数时，记录每个数的最小质因子，这使得我们可以方便地计算欧拉函数值。例如，对于合数n，如果它的最小质因子是p，则φ(n)=n*(1-1/p)，因为n包含p的所有质因子，根据欧拉函数的性质，n与p的倍数不互质。 线性筛法还可以用于求解莫比乌斯函数（μ(n)），这是一个表示数n的质因数分解中偶数个质因子的负数，奇数个质因子的正数的函数。同样，它也能计算约数个数函数（d(n)），即n的所有正因数的数量，以及约数和函数（σ(n)），即所有小于等于n的数中，能被n整除的数的和。 0x52杜教筛法是另一种高效的数论筛法，特别适合计算欧拉函数的前缀和，这对于求解涉及到欧拉函数连续区间的题目非常有用。此外，杜教筛还能计算莫比乌斯函数的前缀和。而Min_25筛和洲阁筛则是针对特定问题优化的筛法，它们在某些情况下可能比上述筛法更为高效。 这些筛法在算法竞赛中扮演着重要角色，帮助参赛者快速准确地解决涉及数论的问题。通过理解并熟练掌握这些筛法，参赛者可以在有限的时间内处理大规模数据，提高解决问题的能力。