集合的差与运算：定义、性质与示例

"集合的差-集合的运算" 在离散数学中，集合是一组具有特定属性的对象，而集合的运算则是对这些集合进行操作的方法。本摘要将详细阐述集合的四种基本运算：并集、交集、补集以及差集。 首先，集合的并集（Union）是指两个集合A和B的所有元素组成的集合。例如，如果A是包含单词"universal"所有字母的集合，B是包含单词"Set"所有字母的集合，那么A∪B就是由这两个集合中的所有不同字母组成的集合，即{u, n, I, v, e, r, s, a, l, t}。在文氏图中，可以用一个大正方形或长方形代表全集E，用圆表示集合，阴影部分表示并集。 接着是集合的交集（Intersection），它是由两个集合A和B的公共元素组成的集合。如{1,2}∩{2,3}={2}，而{1,2}∩{5,6}={}，表示没有公共元素。如果A和B的交集为空，我们说A和B是不相交的，记作A∩B=∅。 集合的补集（Complement）指的是在全集中不属于某个集合A的所有元素组成的集合。通常，在一个给定的全集E中，A的补集记为AE，包含所有不在A中的元素。 最后，集合的差集（Difference）是属于集合A但不属于集合B的所有元素组成的集合，记作A-B或A\B。例如，如果A={2,3,{2,3}}，B={{2,3}}，那么A-B就是{2,3}，因为这些元素在A中但不在B中。 对于集合的差集，我们可以进行如下计算： - A-B = {2,3} - {{2,3}} = {{2,3}}，因为{2,3}在A中，不在B中。 - AA-∅ = {{2,3}} - ∅ = {{2,3}}，差集运算不会改变A的元素。 - A-A = ∅ - ∅ = ∅，因为两个集合相同，差集为空。 此外，集合运算还有一些重要的性质： 1. 幂等律：A∪A=A，A∩A=A。 2. 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。 3. 分配律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。 4. 吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A。 5. 结合律：A∪B∪C=(A∪B)∪C，A∩B∩C=(A∩B)∩C。 这些性质是理解集合运算的基础，并且在证明和解决涉及集合的问题时非常有用。通过掌握这些概念和性质，可以更好地理解和应用集合论，这是离散数学和许多计算机科学领域的基础。