单调映射下的投影收缩算法：求解变分不等式新方法

"求解变分不等式的一种改进的投影收缩算法 (2012年) - 青岛大学学报(自然科学版), 汪雪萍, 田志远, 黎博, 杨婷婷" 这篇论文发表于2012年2月的《青岛大学学报（自然科学版）》第25卷第1期，由汪雪萍、田志远、黎博和杨婷婷共同撰写。文章的核心内容是介绍了一种针对变分不等式问题的新投影收缩算法，该算法在解决此类问题时，仅需算子具有单调性即可证明其收敛性，而不再依赖于算子的强单调性和Lipschitz连续性这两个通常需要的条件。 变分不等式（Variational Inequality, VI）是数学、最优化、经济学和工程领域中的一个重要工具。它涉及到一个非空闭凸子集X在实空间R^n中的元素以及一个映射F: R^n → R^n。VI问题要求找到X中的点x，使得对于所有y∈X，都有内积＜F(x)，y-x＞≥0成立。这个概念可以用来表示各种实际问题，包括非线性互补问题和非线性方程等。 历史上，变分不等式由Philip Hartman和Guido Stampacchia等人在1960年代引入，并在随后的几十年中得到了广泛研究和发展。Korpelevich在1976年提出了外梯度算法，为变分不等式的数值解法奠定了基础。在此之后，许多学者，包括中国的一些研究人员，对投影收缩算法和预测校正算法等进行了深入研究，特别是在处理大规模问题时，投影算法因其简单且鲁棒的特性而备受青睐。 论文中提到的改进投影收缩算法是对传统投影算法的一种优化，它降低了收敛性条件的严格性，从而拓宽了算法的应用范围。传统算法通常要求算子的强单调性和Lipschitz连续性，这两个条件在某些复杂问题中可能难以满足。新算法只需要算子的单调性就足以保证收敛，这无疑提高了算法的实用性和适应性。 论文详细讨论了新算法的设计思路、证明过程和收敛性分析，同时也回顾了线性方法（如范数收缩和向量收缩）和非线性方法（如Jacobi方法）等其他解决变分不等式问题的策略。通过这种方式，作者们为读者提供了更全面的视角，帮助他们理解如何在不同的理论框架下处理变分不等式问题。 这篇论文对变分不等式的研究社区作出了重要贡献，提出了一种更为灵活且高效的算法，有助于推动相关领域的理论与应用研究。对于研究变分不等式问题的学者和实践者而言，这是一种值得学习和借鉴的创新方法。