数据结构：一维与二维RMQ详解

"WarBlood 模板.md - ACM竞赛相关数据结构知识：一维和二维RMQ（Range Maximum Query）" 本文档介绍了在ACM竞赛中常见的数据结构问题，特别是关于RMQ（Range Maximum Query，范围最大值查询）的实现。RMQ允许我们在一个数组或矩阵中快速找到一段连续子序列的最大值，这对于处理动态更新和查询的问题非常有用。 **1. 一维RMQ** 1.1 一维RMQ的基本思想是利用分治策略来减少计算量。给定一个数组`b`，我们可以使用一个动态规划的二维数组`dp`来存储每个子数组的最大值。数组`mm`用于存储数组下标的二进制位数，这有助于确定查询时所需的最小级别。初始化函数`initRMQ`首先将`dp`的最底层填充为原始数组的值，然后逐层向上合并最大值。查询函数`rmq`使用`mm`来确定所需级别的二进制掩码，并返回指定范围内子数组的最大值。 **2. 二维RMQ** 二维RMQ扩展了这个概念，用于在一个矩阵中查找矩形区域的最大值。初始化函数`initRMQ`类似于一维情况，但需要处理四个方向的边界情况。在查询矩形区域内的最大值时，我们需要考虑当前子矩阵的四个角，分别对应于父矩阵的上、左、右、下边界。查询函数`rmq`接收四个参数，表示矩形的左上角和右下角坐标，然后返回该矩形区域内的最大值。 **应用场景** 在ACM竞赛中，RMQ常用于处理动态更新和查询的问题，例如： - **区间操作**：例如，区间加法、区间乘法等。 - **区间统计**：如找出最大/最小值出现的次数，或者找出区间的中位数。 - **数据压缩**：通过预处理数组，可以高效地处理区间查询。 **优化与拓展** - **Sparse Table**：一种空间效率稍低但查询更快的RMQ实现。 - **Fenwick Tree (Binary Indexed Tree)** 或 **Segment Tree**：不仅可以处理最大值查询，还能支持动态更新。 - **Lazy Propagation**：用于优化Segment Tree或Fenwick Tree，解决大量区间更新的问题。 在实际编程竞赛中，选择哪种数据结构取决于问题的具体需求，包括内存限制、查询和更新的频率以及问题的特殊性。理解并熟练掌握这些数据结构对于提高ACM竞赛的成绩至关重要。