非线性互补问题的无导数下降法收敛性分析

"这篇论文是关于非线性互补问题的无导数下降方法的收敛性分析，由谷伟哲和鲁礼勇共同撰写。在该研究中，作者们基于Hu, Huang和Chen在‘Properties of a family of generalized NCP-functions and a derivative-free algorithm for complementarity problems’的工作，探讨了一类广义NCP-函数，并证明了一个无导数下降算法在全球范围内的收敛性。这项研究得到了中国高等教育博士项目和国家自然科学基金的支持。" 正文: 非线性互补问题(Nonlinear Complementarity Problems, NCPs)是优化理论和计算数学中的一个核心问题，广泛应用于经济学、工程学和控制理论等领域。解决这类问题通常需要找到满足特定互补条件的一对向量，即当两个向量元素非零时，它们的乘积为零，反之亦然。 在论文“Convergence Analysis on a Derivative-Free Descent Method for Nonlinear Complementarity Problems”中，谷伟哲和鲁礼勇两位作者深入研究了非线性互补问题的一种新的无导数下降方法。无导数方法（derivative-free methods）在优化领域中越来越受到关注，因为它们不需要目标函数的梯度信息，对于黑盒问题或梯度信息难以获取的情况特别有用。 Hu, Huang和Chen之前的工作提出了一个广义NCP-函数家族，这个家族包含了多种已知的NCP函数作为特例。这些广义NCP-函数具有良好的性质，为设计有效的算法提供了基础。在本文中，谷伟哲和鲁礼勇利用这些函数的特性，证明了基于这些函数的无导数下降算法在全球范围内是收敛的。这意味着，无论初始点如何选择，只要满足一定的适定条件，算法都能保证逐步接近问题的解。 无导数下降方法的基本思想是通过迭代更新来寻找解，每一步都沿着负梯度方向移动，但不直接依赖于函数的导数信息。这种算法的关键在于如何定义和选择合适的搜索方向以及步长。在非线性互补问题的背景下，这需要考虑函数的特殊结构和互补条件。 论文中详细阐述了算法的实现细节、收敛性条件以及可能遇到的挑战。作者们还可能讨论了算法的局部和全局行为，包括其在鞍点和局部极小值附近的动态。此外，他们可能还分析了算法的计算复杂性和数值实验结果，以验证理论分析的有效性。 这篇论文不仅贡献了一种新的无导数算法，而且进一步推动了非线性互补问题求解方法的研究。这对于优化理论的发展，特别是对于那些需要处理未知或复杂问题的领域，如机器学习、最优化控制和金融模型等，具有重要的理论与实践价值。