Nystrom方法与单层位势求解尖角区域Dirichlet问题

"这篇论文是2011年4月发表在《纯粹数学与应用数学》杂志第27卷第2期的一篇自然科学论文，作者是牛磊，来自西北大学数学系。文章主要探讨了利用单层位势解决尖角区域上的Dirichlet外问题的数值方法，涉及到Kress变换、第一类奇异核的积分处理和Nystrom方法。" 在数学物理领域，声波散射问题是研究的重要课题，尤其是涉及时间调和的二维Helmholtz方程。由于这些方程通常难以得到解析解，因此数值方法成为求解的关键。Nystrom方法因其高效和快速收敛性，在处理闭区域的正问题上被广泛应用。本文关注的是在尖角区域上的Dirichlet外问题，即在边界给定条件下，寻找满足特定辐射条件的Helmholtz方程解。 首先，作者引用了文献[1]中用单双层位势解决此类问题的方法，但指出这种方法可能较为复杂。同时，文献[2]提出了一种使用单层位势处理第一类带奇异核积分方程的策略。受到后者启发，作者决定尝试仅使用单层位势来表示尖角区域上的散射波，并求解Dirichlet外问题。 论文中，Helmholtz方程的辐射解必须满足Sommerfeld辐射条件，这是确保解在远离源点时以波动形式传播的必要条件。尖角区域的Dirichlet外问题涉及到在该区域边界上给定一个连续函数，目标是找到满足这一条件的辐射解。 Kress变换是一种用于处理具有尖角几何结构问题的技巧，它可以将尖角转化为更平滑的边界，从而简化问题。配合处理第一类奇异核的积分方法，可以有效地处理由于边界形状导致的积分方程中的奇异行为。 Nystrom方法则是将偏微分方程转化为数值积分，通过离散化边界并应用Gauss积分规则来近似解。这种方法在处理Helmholtz方程时，往往只需要相对较少的节点就能获得较高的精度。 在论文中，作者给出了具体的算法步骤，并通过数值实例验证了单层位势求解尖角区域上的Dirichlet外问题的有效性和可行性。数值实验结果表明，这种方法得出的解与使用单双层位势结合的方法基本一致，证明了单层位势方法的合理性。 这篇论文对理解和应用单层位势解决具有复杂几何结构的声波散射问题提供了新的视角和数值策略，对于进一步研究二维Helmholtz方程的数值解法具有重要价值。