动态规划艺术：背包问题九讲2.0版详解

《背包问题九讲》是《动态规划的思考艺术》系列的一部分，该系列文章由崔添翼在2007年首次发布，使用HTML格式并通过网络流传，具有一定的影响力。在2011年进行了全面的LATEX重制和修订，形成了2.0beta版本，修订历史可在<https://github.com/tianyicui/pack>获取。本文遵循Creative Commons BY-NC-SA协议，版权所有。 文章详细探讨了多种背包问题的变种，包括： 1. 01背包问题：解决的是物品的取舍问题，每个物品都有一个固定的价值和体积，目标是在容量有限的背包中选择物品以最大化价值，同时考虑物品是否可以重复选取。 2. 完全背包问题：与01背包类似，但允许无限次选取某个物品，只需不超过物品的总量限制。 3. 多重背包问题：涉及多个类别的物品，每个类别有自己的容量限制，需在不同类别之间分配物品。 4. 混合三种背包问题：结合了01、完全和多重背包的特点，增加了问题的复杂性。 5. 二维费用的背包问题：考虑物品的单价和数量双重属性，限制物品总数和总费用。 6. 分组的背包问题：物品被分成不同的组，每组内物品性质相同，需要在各组间进行决策。 7. 有依赖的背包问题：物品之间存在相互依赖关系，选取一个会影响其他物品的选择。 8. 泛化物品：扩展背包问题的概念，引入更复杂的物品特性，如可分解或具有非线性价值函数。 9. 背包问题问法变化：讨论了输出方案的多样性，包括字典序最小、最优方案总数、次优解等不同要求。 每部分都提供了基本思路、优化方法以及相应的算法设计。这些内容不仅适用于计算机科学专业学生的学习，也对实际问题解决者提供了解决复杂优化问题的实用工具。通过深入理解这些变种背包问题，读者可以提升动态规划算法的应用能力。