《积分、级数与乘积表》第7版：经典数学工具
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更新于2024-07-23
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《积分表、级数与乘积手册》第七版（2007）是一部专注于数学领域的权威参考书籍，由I.S.格拉德舍因和I.M.里兹希编著，艾伦·杰弗里和丹尼尔·兹维尔林担任编辑。该书原为俄文版本，由Scripta Technica, Inc.翻译成英文。本书的核心内容涵盖了广泛的数学工具，特别是对定积分、不定积分、级数和乘积进行了详尽的总结和计算表格。
在本书中，读者可以找到一系列精心整理的积分公式，这些公式对于解决实际问题和理论研究都至关重要。定积分部分包括基本函数的积分、三角函数、指数和对数函数、椭圆函数等的积分表达式，以及特殊函数的积分形式。这些公式有助于快速求解复杂的积分问题，节省了科研人员和学生在计算上的大量时间。
不定积分则是指那些没有唯一初等函数解析解的积分，书中提供了多种方法和技术来处理这类积分，如分部积分法、换元法、部分分式分解等，以帮助理解和掌握积分的多样性。
级数部分则涉及无穷级数的收敛性检验、求和技巧，如幂级数、交错级数、泰勒级数等，这对于微积分、数值分析和数学物理等领域中的问题分析至关重要。同时，乘积项通常与特殊函数的生成函数和级数展开有关，通过查阅这本书，研究者可以快速查找特定函数的乘积形式。
此外，该书还包含了丰富的历史背景和注释，介绍了每个公式背后的数学思想和发现过程，有助于读者深入理解这些公式背后的数学原理。版权信息强调了全书的版权保护，并规定未经许可，任何形式的复制或传播都必须得到出版商的书面授权。
《积分表、级数与乘积手册》第七版是一本不可或缺的工具书，不仅为专业数学工作者提供实用的计算工具，也对学习者进行理论训练和提高解决问题的能力具有极大的帮助。无论是进行学术研究还是日常教学，这本教材都是宝贵的参考资料。
CONTENTS xv
9.73 Euler’s and Catalan’s constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046
9.74 Stirling numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046
10 Vector Field Theory 1049
10.1–10.8 Vectors, Vector Operators, and Integral Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . 1049
10.11 Products of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049
10.12 Properties of scalar product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049
10.13 Properties of vector product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049
10.14 Differentiation of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050
10.21 Operators grad, div, and curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050
10.31 Properties of the operator ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051
10.41 Solenoidal fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052
10.51–10.61 Orthogonal curvilinear coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052
10.71–10.72 Vector integral theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055
10.81 Integral rate of change theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057
11 Algebraic Inequalities 1059
11.1–11.3 General Algebraic Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059
11.11 Algebraic inequalities involving real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059
11.21 Algebraic inequalities involving complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060
11.31 Inequalities for sets of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061
12 Integral Inequalities 1063
12.11 Mean Value Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
12.111 First mean value theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
12.112 Second mean value theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
12.113 First mean value theorem for infinite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
12.114 Second mean value theorem for infinite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064
12.21 Differentiation of Definite Integral Containing a Parameter . . . . . . . . . . . 1064
12.211 Differentiation when limits are finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064
12.212 Differentiation when a limit is infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064
12.31 Integral Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064
12.311 Cauchy-Schwarz-Buniakowsky inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . 1064
12.312 H¨older’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064
12.313 Minkowski’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
12.314 Chebyshev’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
12.315 Young’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
12.316 Steffensen’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
12.317 Gram’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
12.318 Ostrowski’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
12.41 Convexity and Jensen’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
12.411 Jensen’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
12.412 Carleman’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
12.51 Fourier Series and Related Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
12.511 Riemann-Lebesgue lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067
12.512 Dirichlet lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067
12.513 Parseval’s theorem for trigonometric Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . 1067
12.514 Integral representation of the n
th
partial sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067
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