现代控制理论习题与解析

"《现代控制理论习题解答》是由华中科技大学出版社出版的一本书，主要包含一系列关于现代控制理论的习题解答。书中的习题涵盖5-1至5-18，涉及二次型函数的定号性判断、二次型函数的正定条件、矩阵的正定性分析以及非线性系统的平衡态与稳定性评估。" 现代控制理论是自动控制领域的一个核心分支，主要研究线性和非线性动态系统的行为和性能。在这一理论中，二次型函数和矩阵的定号性是关键概念，它们与系统的稳定性紧密相关。 习题解答5-1至5-4探讨了二次型函数的定号性，这是确定一个系统性能的基础。正定的二次型函数意味着对于所有非零向量x，函数f(x) = x^T P x总为正，其中P是对称矩阵。通过对称矩阵进行合同变换，可以判断其正定、半正定或不定的性质。例如，在5-1中，通过合同变换判断了二次型函数的正定性；而在5-2中，确定了使函数正定的待定系数取值范围。 5-3部分涉及矩阵的正定性，这是控制理论中稳定性分析的关键。通过合同变换和赛尔维斯特准则，可以判断矩阵P是否正定、半正定或不定。例如，当矩阵P满足特定条件时，它可以被转换为对角矩阵，其中对角元素决定矩阵的定号性。 5-4题引入了二阶非线性系统的分析，包括平衡态的寻找和线性化的应用。平衡态是系统动力学不随时间变化的状态，通过解非线性方程组找到。然后，通过线性化状态方程并计算特征根来判断平衡态的稳定性。在本例中，某些平衡态可能是渐近稳定的，而其他可能是不稳定的。 5-5题继续讨论系统的运动方程，这通常涉及到微分方程，这些方程描述了系统如何随时间演变。使用李雅普诺夫第一法可以评估这些系统的稳定性，这是一种分析动态系统稳定性的标准工具。 《现代控制理论习题解答》这本书提供的习题解答涵盖了现代控制理论中的基础概念，包括二次型函数、矩阵的正定性以及非线性系统的稳定性分析，这些都是理解和设计复杂控制系统所必需的技能。通过解决这些习题，读者可以深化对这些理论的理解，并提升在实际问题中的应用能力。