图论基础：概念、表示与遍历深度解读

图的概念、表示与遍历是计算机科学中基础且重要的知识点，主要涉及图论的基本概念以及在算法设计中的应用。首先，图是一种抽象的数据结构，用于表示现实世界中实体及其相互关系。它由两部分组成：顶点（Vertex）代表具体的事物，边（Edge）表示事物之间的联系。根据边的方向性，图分为无向图和有向图，前者边无特定方向，后者边有方向。 1. **深度优先遍历（DFS）**：这是一种常用的图遍历策略，它从一个起点开始，尽可能深地探索分支，直到达到某个分支末端，然后回溯到其他未访问的分支。C++中通常通过递归或栈来实现DFS，利用访问标记（如数组vis[]）避免重复访问。 2. **广度优先遍历（BFS）**：与DFS相反，BFS按照层级顺序遍历图，即先访问最近的节点，再逐步扩展到更远的节点。这通常借助队列数据结构实现，例如在字典序下优先队列的使用。 3. **拓扑排序**：针对有向无环图（DAG，Directed Acyclic Graph）的排序方法，它将顶点按照一定的线性顺序排列，使得对于图中的每条有向边，其起点都排在终点之后。这对于任务调度、依赖关系处理等场景非常有用。 4. **判断有向无环图（DAG）**：检查一个有向图是否包含环是关键步骤，因为DAG是许多算法的基础。可以通过边的入度和出度来确定，如果所有顶点的入度之和等于出度之和，则图是DAG。 5. **图的存储结构**： - **邻接矩阵**：用一个二维数组来表示图，其中行和列表示顶点，矩阵元素表示顶点间是否有边。无向图的矩阵是对称的，有向图则不是。 - **邻接表**：一种更节省空间的方法，每个顶点维护一个链接列表，仅存储与其相连的顶点，适用于稀疏图，即边的数量远小于顶点数量的平方。 6. **图的遍历算法**： - **树的存储**：树是特殊类型的图，常用存储结构包括线索二叉树等，便于操作和遍历。 - **树的遍历**：包括前序、中序、后序和层次遍历，是理解树结构和算法的关键。 - **二叉树的遍历**：如前序、中序和后序遍历，是构建和操作二叉树的基础。 7. **图的性质与术语**： - 连通图与非连通图，度、路径、圈、有向路径、有向环和有向无环图等概念，帮助理解图的结构和性质。 - 例如，连通图意味着任何两点间都有路径，而在有向图中，入度和出度描述了顶点的出边数量和入边数量。 学习图的概念、表示与遍历有助于理解和解决各种图相关的算法问题，包括最短路径、最小生成树等，是数据结构和算法学习的重要组成部分。掌握这些知识不仅对于编写高效程序，而且对于理解和设计复杂系统中的通信模型、网络分析等应用场景具有重要意义。