设计与比较FIR数字滤波器：线性相位低通、带通、高通及微分器

"北京理工大学的数字信号处理课程第五次大作业，涉及电子信息工程专业，由刘志文老师任教。作业内容包括设计不同类型的FIR数字滤波器，并与MATLAB软件设计的滤波器进行比较。主要介绍了FIR滤波器的线性相位特性、窗函数设计法和频率取样设计法。实验要求学生应用所学知识，设计低通、带通、高通和微分器滤波器，并关注滤波器性能，如线性相位、滤波器阶数以及阻带衰减等参数。" 在数字信号处理领域，FIR（Finite Impulse Response，有限冲击响应）滤波器因其线性相位特性而备受青睐。这类滤波器的输出只依赖于输入信号的有限历史，使得它们在保持良好的相位特性的同时，适用于实时处理应用。FIR滤波器设计方法主要包括窗函数法、频率取样法和最优化的切比雪夫等波纹逼近设计。 窗函数设计法是一种简单直观的方法，它通过将理想的无限长滤波器响应截断并乘以一个窗函数来实现。窗函数如海明窗，可以控制滤波器的过渡带宽度和阻带衰减。例如，在设计一个要求在阻带内衰减不小于50dB的FIR滤波器时，可以选择海明窗。根据给定的阻带开始频率ωs和通带截止频率ωc，可以计算出过渡带宽度∆ω，并利用窗函数的公式来确定滤波器的阶数N。 频率取样设计法则是通过在理想的频率响应上取样，然后利用逆离散傅立叶变换（IDFT）得到滤波器的单位脉冲响应。这种方法虽然可以直接从频率域出发设计滤波器，但通常需要进一步优化，比如增加过渡带的非零取样值，以改善滤波器的性能。 实验内容要求学生根据具体指标设计FIR滤波器，例如设计一个线性相位的FIR低通滤波器，通带截止频率为ωc=0.2π，阻带开始频率为ωs=0.5π，要求阻带内的衰减不低于50dB。设计过程中，学生需要选择合适的窗函数（如海明窗），计算滤波器阶数N，并利用MATLAB等工具实现滤波器设计，最后对比分析自设计滤波器与直接使用MATLAB内置功能设计的滤波器性能差异。 这个大作业旨在强化学生对FIR滤波器设计理论的理解，提高他们的实践能力，同时也训练他们在实际问题中应用数字信号处理技术的能力。通过这样的练习，学生能够更好地掌握滤波器设计的关键步骤，包括指标设定、窗函数选择、滤波器阶数计算以及性能评估，从而为将来在信号处理领域的深入研究和应用打下坚实的基础。