数值积分方法：矩形公式与求积原理

"数值积分是计算定积分的一种方法，它针对无法直接求出原函数或者原函数表达复杂的积分问题。在本资源中，讨论的核心是矩形公式，这是一种基础的数值积分技术。 数值积分的基本思想源自积分中值定理，该定理指出在某区间[a, b]上的连续函数f(x)，存在至少一个ξ∈[a, b]，使得积分的值等于函数在该区间上的平均值乘以宽度，即∫_a^b f(x) dx = f(ξ)(b - a)。因此，通过在区间内选取多个点作为节点，利用这些点的函数值来估算整个区间的积分，可以构建数值积分公式。 矩形公式是数值积分的一种具体实现。例如，左矩形公式是将区间[a, b]等分为n个小区间，并在每个小区间的左端点处计算函数值，然后将所有这些值乘以相应区间的宽度并求和，即近似积分。具体公式表示为： ∫_a^b f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(a + Δx) + ... + f(b - Δx)) 其中，Δx = (b - a) / n 是每个小区间的宽度，f(xi) 为第i个小区间的左端点处的函数值。 被积函数f(x)在a处的泰勒展开用于改进矩形公式，特别是当函数在a点有已知的信息时。泰勒展开可以将函数在a点附近近似为多项式，从而可能简化积分的计算。如果函数在[a, b]上连续且在[a, b]上保持符号不变，那么根据积分中值定理，可以通过选择适当的点ξ，使某个矩形公式更准确地估计积分。 除了左矩形公式，还有右矩形公式，它使用每个小区间的右端点的函数值，以及中点矩形公式，使用每个小区间的中点的函数值。这些不同版本的矩形公式可以结合使用，形成复化矩形公式，提高估算的精度。 此外，还有其他数值积分方法，如辛普森法则（Simpson's rule）、梯形法则和高斯积分公式，它们通过更复杂的方式加权和计算节点处的函数值，以提高代数精度，即能够精确积分次数更高的多项式。例如，牛顿-柯特斯公式（Newton-Cotes formula）是一类复化求积公式，其中包括了上述的复化矩形公式。 高斯型求积公式是数值积分中的高效方法，它们特别设计了一组节点和对应的权重，使得公式能精确积分特定次数的多项式。例如， Legendre-Gauss 公式使用 Legendre 多项式的根作为节点，可以精确积分直到特定次数的所有多项式。 数值积分提供了一种处理实际问题中难以解析积分的有效手段，通过不同的求积公式和方法，我们可以逼近实际积分的精确值，满足工程、物理、经济等领域的需求。