切换非线性系统稳定性：LaSalle原理的扩展

"该文探讨了切换非线性系统中LaSalle不变原理的应用扩展，尤其是在系统中的每个切换模式不需要都是渐近稳定的情况。通过引入弱公共Lyapunov函数和考虑切换信号的遍历性假设，作者王金环和程代展提供了两种新的全局渐近稳定性的理论依据。" 在控制理论中，LaSalle不变原理是一个广泛使用的工具，用于分析连续时间系统的稳定性。这一原理指出，如果一个系统有一个Lyapunov函数，其在系统的动力学中沿所有轨迹都是非增的，并且除了平衡点的集合外，这个函数的流是不变的，那么系统的所有状态都将趋向于这个平衡点的集合。这个原理在线性系统和一些非线性系统中非常有效。 切换系统是由多个子系统（或模式）组成的，这些子系统在某个切换规则的指导下按顺序运行。在切换非线性系统中，每个子系统可能有不同的动态特性，而系统的整体行为取决于这些子系统的组合方式以及切换的规律。通常，确保每个子系统都是渐近稳定的对于系统整体的稳定性至关重要。然而，这篇论文提出了一种新的方法，允许某些切换模式仅是稳定，而不是渐近稳定。 论文的核心贡献在于提出了弱公共Lyapunov函数的概念，这是一种适用于整个切换系统的Lyapunov函数，即使子系统之间可能存在差异。弱公共Lyapunov函数并不需要在每个子系统内都严格递减，而是要求在全局尺度上保持下降趋势，这为分析不全由渐近稳定模式构成的切换系统提供了可能。 在切换信号的遍历性假设下，这意味着切换模式可以随机或有规律地变化，但必须覆盖所有可能的模式，且每个模式都有足够的时间被激活。这样的假设保证了系统在长时间运行后能遍历所有稳定模式，从而在整体上实现稳定。 论文的两个扩展了的LaSalle不变性原理分别提供了全局渐近稳定性的不同证明策略，这为设计更灵活的控制策略打开了新的途径。这对于那些难以找到传统意义上的全局Lyapunov函数，或者切换模式不能保证渐近稳定的实际工程应用特别有价值。 这项工作深化了我们对切换非线性系统稳定性的理解，并提供了实用的分析工具，这将有助于解决实际工程问题，如机器人控制、电力系统、网络化控制系统等领域的设计和分析。通过对LaSalle不变原理的扩展，研究人员和工程师现在可以处理更广泛的系统模型，包括那些切换模式只具备有限稳定性的系统。