高阶抛物型方程的显式差分格式及其稳定性分析

"这篇论文是1998年华侨大学学报自然科学版上发表的一篇文章，作者曾文平，主要探讨了解决高阶抛物型方程的显式差分格式，尤其是恒稳的三层显式差分格式，旨在改进抛物型方程网格积分法的稳定性条件。文章涉及数学领域的数值分析，属于自然科学类论文，关键词包括高阶抛物型方程、显式差分格式和绝对稳定。" 文章中提到的高阶抛物型方程初边值问题具有以下形式： \[ \frac{\partial^m u}{\partial t^m} = c(x) \frac{\partial^{2m} u}{\partial x^{2m}} \] 其中，\( u(t, x) \) 是未知函数，\( m \) 表示方程的阶数，\( c(x) \) 是一个依赖于空间变量 \( x \) 的系数函数。 Cayley-B型的差分格式由两层结构组成，包含权重因子 \( \alpha \)（\( 0 \leq \alpha \leq 1 \)），并在时间和空间上采用差分步长 \( k \) 和 \( h \)。当 \( \alpha \) 在 \( \frac{1}{2} \) 和 \( 1 \) 之间时，格式无条件稳定；当 \( \alpha \) 在 \( 0 \) 到 \( \frac{1}{2} \) 之间时，稳定性的必要和充分条件与差分步长有关。对于 \( \alpha = 0 \) 的显式格式，稳定性条件较为严格，随着方程阶数的增加，条件变得更加苛刻。 为了解决这一问题，作者曾文平提出了一个新的三层显式差分格式，通过引入耗散项（人工粘性项）并适当选择参数，实现了无条件稳定性。这种方法不仅改进了原有的格式，也降低了计算复杂性，特别是在处理高阶方程时，对稳定性条件的放宽具有显著的意义。 这篇论文的核心贡献在于提供了一种新的显式差分格式，用于求解高阶抛物型方程，且这种格式在保持稳定性的同时避免了隐式格式的计算复杂性，具有较高的实用价值。这对于数值模拟和工程应用中的高阶偏微分方程求解是一个重要的进展。