提高精度的四阶抛物型方程显式差分新格式：理论与实践

本文主要探讨的是如何构建一个新的高精度显式差分格式来求解四阶抛物型方程 \( u_{tt} - au_{xxxx} = 0 \) 的数值解。作者羊双荣和曾文平针对这个问题，提出了一种创新的三层显式差分方法，与早期研究相比，他们在稳定性条件和局部截断误差上取得了显著的进步。 首先，作者回顾了1960年Cayley在文献[1]中提出的显式差分格式，尽管它具有显式的优点，但其截断误差仅为 \( O(r + h^2) \)，这意味着精度相对较低。为了提高精度并降低求解过程中的计算负担，Cayley还介绍了两个隐式格式，它们的误差分别为 \( O(r^2 + h) \) 和 \( O(r^2 + h^2) \)，但隐式格式需要解决线性方程组，这增加了复杂性。 文献[2]进一步改进了显式格式，提出一个三层含参数的显式差分格式，其截断误差达到 \( O(r^2 + h^2) \)，这是一个提升，但作者认为还有进一步优化的空间。本文的主要贡献在于设计了一个新的三层显式格式，其截断误差被提升到 \( O(r^2 + h^4) \)，这比传统格式的精度提高了2-4个阶次。同时，令人惊讶的是，尽管精度提高，通过选择合适的参数，该新格式仍然保持了与文献[1]相同的稳定性条件，即 \( r = \frac{7}{16} < \frac{1}{8} \)。 通过数值实验，作者证实了新格式的有效性和理论分析的正确性。这种方法不仅提高了计算效率，而且保持了较高的精度，对于处理四阶抛物型方程这类复杂问题具有重要意义。这项工作不仅解决了原有方法的局限，也为数值求解四阶抛物型方程提供了一个新的高效工具，对数值计算领域具有重要价值。