微积分基础：Thomas's Calculus 概览与预备知识

"托马斯微积分初步概览，涵盖实数系统、笛卡尔坐标系、直线、抛物线、圆、函数以及三角学基础知识，并强调了图形计算器和计算机绘图软件的应用。章节深入复习了实数、不等式、区间和绝对值的概念，指出实数可以表示为无限小数，并在数轴上几何表示。" 微积分是数学的一个核心分支，它研究变化和率的变化。托马斯的《微积分》这本书旨在帮助学生掌握所需的数学熟练度和成熟度，同时为需要额外支持的学生提供平衡的教学方法，包括清晰直观的解释、当前应用和一般化的概念。 首先，实数系统是微积分的基础，它包含所有可能的有理数和无理数。实数可以表示为有限或无限的十进制数，例如0.333...（无穷个3）和0.999...（无穷个9）。尽管某些数有多种表示方式，如1等价于0.333...和0.999...，但每个可想象的十进制扩展都代表一个独特的实数。 在数轴上，实数被可视化为一条直线，称为实数线。数轴上的每一个点对应一个实数，而符号"ℝ"代表实数系统或实数线。实数系统具有丰富的性质，包括加法、乘法的封闭性，以及有序性，使得我们可以比较和排序实数。 接下来，描述中的"Cartesian coordinates in the plane"指的是笛卡尔坐标系，它是平面直角坐标系，通过两个互相垂直的坐标轴来定位平面上的点。每个点的位置由一对坐标（x, y）确定，这在微积分中用于描绘函数图像和解决方程。 直线、抛物线、圆是微积分中常见的几何形状，它们的方程式和性质是微积分的基本内容。例如，直线的方程通常是y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距；抛物线则由方程y = ax^2 + bx + c定义，其中a、b和c是常数；而圆则由标准方程(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2给出，其中(h, k)是圆心坐标，r是半径。 函数是微积分的核心，它定义了一个输入（自变量）与一个或多个输出（因变量）之间的关系。函数的图像是一个集合的点，每个点的坐标满足函数的规则。函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性，对于理解其行为至关重要。 最后，三角学在微积分中起着重要作用，特别是在处理周期性问题和解析几何中。基础的三角函数，如正弦、余弦和正切，以及它们的反函数，是微积分计算中的基本工具。 现代微积分还涉及到图形计算器和计算机绘图软件的使用，这些工具能够快速绘制复杂的函数图像，进行数值计算，帮助理解和解决实际问题。它们在教学和研究中都扮演着不可或缺的角色。 《托马斯微积分》这本书不仅提供了微积分的基础知识，还强调了理论与实践的结合，以及数学工具的现代化运用，是学习和理解微积分概念的理想教材。