非单调信赖域算法求解凸约束非线性方程组

"该文章是2007年发表在《上海师范大学学报(自然科学版)》第36卷第4期的一篇论文，作者是贾春霞，研究领域为自然科学，具体涉及非线性方程组的求解方法。论文提出了一种针对带有凸约束的非线性方程组的非单调信赖域算法，该算法在一定的合理条件下具备全局收敛性和局部快速收敛速度。关键词包括非线性方程、信赖域方法、投影梯度。" 在非线性优化领域，解决包含凸约束的非线性方程组问题是一项挑战。这些方程组通常表示为 \( F(x) = 0 \)，其中 \( F: X \rightarrow R^n \) 是一个非线性函数，而变量 \( x \) 受到凸集 \( \Omega \) 的限制，即 \( x \in \Omega \)（如式1.1所示）。这类问题广泛存在于工程、物理、经济和科学计算中。 本文介绍的非单调信赖域算法是一种优化策略，旨在寻找满足约束条件的最小化点。传统的信赖域方法通常基于单调性原则，即每一步迭代都要求目标函数值下降。然而，非单调策略放宽了这个要求，允许在某些迭代步中目标函数值上升，以增加算法的全局探索能力，从而改善全局收敛性能。 信赖域方法的核心在于在每个迭代步骤中定义一个局部搜索区域，即“信赖域”，并在这个区域内求解一个次优化问题来逼近全局最优解。对于凸约束问题，次优化问题通常是一个投影梯度问题，即寻找沿着梯度方向移动但仍然保持在约束集内的步长。非单调策略在更新信赖域半径时考虑了前几次迭代的函数值变化，以平衡局部快速收敛与全局探索。 论文提出的算法在理论上证明了其在全球范围内能够收敛到问题的解，并且在局部具有快速收敛速率。这意味着，尽管算法可能在搜索过程中允许函数值暂时上升，但在整体上，它仍能保证向全局最优解靠近。此外，算法还考虑了实际计算中的效率和可行性，确保在实际应用中可以有效执行。 这篇论文为处理有约束的非线性优化问题提供了一个新的视角，通过引入非单调性，提高了算法的全局收敛性能，同时保持了局部快速收敛的特性。这对于解决实际问题，尤其是在存在复杂约束条件的情况下，具有重要的理论和应用价值。