卡尔曼滤波器详解：理论与应用

"这篇文档是关于卡尔曼滤波器的介绍，主要涵盖了离散卡尔曼滤波器的基本理论和实际应用，以及扩展卡尔曼滤波器的描述。它强调了卡尔曼滤波器在不同领域的广泛应用，特别是自主导航领域，并提供了简单的示例帮助理解。文档的作者是Greg Welch和Gary Bishop，翻译者是姚旭晨。" 卡尔曼滤波器是一种高级的统计滤波技术，由Rudolf E. Kalman于1960年提出，主要用于处理含有噪声的数据，尤其适用于实时系统中的状态估计。它不局限于信号和噪声的平稳性假设，而是基于对系统扰动和观测误差的统计特性进行假设，通过递推算法来获取最优状态估计。 卡尔曼滤波器的工作原理基于两个核心方程：状态转移方程(1.1)和观测方程(1.2)。状态转移方程描述了系统状态x在时间步k如何从k-1时刻演化，其中A是状态转移矩阵，B是控制输入矩阵，u是控制输入，wk-1是过程噪声，通常假设为零均值的高斯白噪声。观测方程则表示观测值z如何依赖于系统状态x，H是观测矩阵，vk是观测噪声，同样假设为独立的高斯白噪声。 卡尔曼滤波器的关键在于其递推算法，它包括预测步骤和更新步骤。预测步骤利用上一时刻的估计和状态转移方程来预测当前时刻的状态；更新步骤结合观测值和预测状态，通过最小化均方误差来更新状态估计，确保估计的精度。 该技术广泛应用于各个领域，如航空航天中的导航系统，通过融合来自GPS、惯性测量单元等多种传感器的数据，提供精确的位置、速度和姿态估计。在图像处理中，卡尔曼滤波可以用来消除噪声，恢复图像的清晰度。此外，它还在环境监测、工业控制和信号处理等领域有重要应用。 扩展卡尔曼滤波器是卡尔曼滤波器的一个变体，适用于非线性系统。当系统模型或观测模型包含非线性函数时，可以通过泰勒级数展开将非线性问题近似为线性问题，从而应用卡尔曼滤波框架。 卡尔曼滤波器是一种强大的工具，它通过数学优化实现了对复杂动态系统的高精度状态估计，能够在噪声环境中提取有用信息，其应用范围不断扩大，不断推动着科技的发展。