命题演算语义推理：逻辑蕴含与重言式证明

"命题演算的语义推理-流体力学及其工程应用[美]约翰芬纳莫尔[美] 约瑟夫弗朗兹尼 著" 本文档主要探讨了命题演算的形式化系统和语义推理，这是数理逻辑的一个基础部分，尤其在计算机科学和逻辑学教育中占有重要地位。命题演算是研究由逻辑联结词连接的命题（简单的真或假陈述）如何通过推理规则形成更复杂的逻辑结构。 在介绍的14个永真式中，这些公式展示了命题演算中基本的逻辑运算性质，例如对合律、幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、德摩根律、同一律、零一律以及排中律。这些都是在命题演算中证明和推理的基础。例如，对合律(A ∧ A → A)表明任何命题与其自身相交总是真的，而幂等律(A ∧ A → A)和(A ∨ A → A)指出命题与自身相或或相交也是真的。 语义推理是命题演算的核心概念之一。定义1.5.1解释了如何通过赋值来判断一组命题公式（Γ）是否能逻辑推出另一个命题公式（A）。如果对Γ中的所有公式赋予真值1，那么A也必须为真，我们就说Γ可以语义推出A。这涉及到命题逻辑的真值表和逻辑蕴含的概念。 定理1.5.1列举了命题演算中的基本逻辑等价性质，这些性质在证明和简化命题公式时非常有用。例如，结合律表明(A ∧ B) ∧ C 等价于 A ∧ (B ∧ C)，而分配律指出A ∧ (B ∨ C) 等价于 (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)。德摩根律揭示了否定操作在与和或运算上的对偶性，即(A ∧ B) 的否定等同于 (A' ∨ B')，(A ∨ B) 的否定等同于 (A' ∧ B')。 此外，文档还提到了命题公式的分类、范式、联结词的扩充与归约，以及命题演算形式系统如PC和ND，这些都是深入理解命题逻辑的关键概念。一阶谓词演算的介绍进一步扩展了逻辑系统，引入了谓词、函词、量词等概念，使得能够表达更为复杂的逻辑关系。 最后，文档讨论了证明方法，包括直接证明、反证法和逆否命题在逻辑推理中的应用，这些都是在数学和逻辑证明中常用的技术。真值和演绎的概念，如唯一阅读定理和谓词逻辑部分，进一步深化了对逻辑推理过程的理解。 总结来说，这篇文档详细阐述了命题演算的形式化系统和语义推理，为学习者提供了理解和应用逻辑推理规则的基础，这对于逻辑学、计算机科学、哲学以及相关领域的研究至关重要。