动态规划解决矩阵金币收集问题

"这是一道关于算法训练的问题，主要涉及动态规划(DP)解决方法。题目要求在N×N的网格中，从左上角开始，每次只能向右或向下移动，目标是获取最多的金币。网格中的每个单元格包含一定数量的金币，金币值不超过1000。输入为一个正整数n表示网格大小，接下来n行描述每个单元格的金币数量。输出应为最多能获取的金币总数。" 在编程竞赛或算法训练中，这样的问题通常被称为“拿金币问题”或“最优化路径问题”。在这个问题中，动态规划是一种有效的解决策略。动态规划是一种将复杂问题分解成子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算的方法。 具体到这个问题，我们可以创建一个(n+1)×(n+1)的矩阵，因为我们需要在边缘位置添加0来处理边界情况。原矩阵的大小为n×n，但我们在扩展后的矩阵中，从第1行和第1列开始填充原矩阵的值，其余位置设置为0。这样，我们可以在处理每个单元格时，确保不会因为没有上一行或左一列而引发错误。 动态规划的思路是，对于矩阵中的每个位置(i, j)，其最优解要么是当前格子的金币加上上一行同一列的格子的最优解（arr[i][j]+arr[i-1][j]），要么是当前格子的金币加上上一列同一行的格子的最优解（arr[i][j]+arr[i][j-1]）。我们选择两者中的较大值作为当前位置的最优解，并更新到矩阵中。这个过程从第2行第2列开始，直到最后一行最后一列，即arr[n][n]，这个位置的值就是能拿到的最多金币数。 给出的代码中，首先读取n，然后初始化一个25×25的矩阵（为了应对可能的大规模输入，这里用比实际需要更大的数组，实际上n不会超过25，但这是一个常见的优化技巧）。接着，读取每个单元格的金币数并填入矩阵，然后开始遍历矩阵，通过比较左右和上下相邻单元格的金币数之和来更新当前单元格的值。最后，输出arr[n][n]即为答案。 总结起来，这个题目锻炼了对动态规划的理解和应用能力，以及处理边界条件的技巧。通过动态规划，我们能够有效地找到一条从起始位置到达网格底部右侧的路径，使得沿途收集的金币总数达到最大。