动态规划求解问题：状态转移与最优解构造

"动态规划基础-用一般思路求解问题" 动态规划是一种强大的算法思想，尤其在解决最优化问题时非常有效。它适用于那些可以分解成多个互相依赖的子问题，并且子问题的解能组合成原问题解的问题。动态规划的核心步骤包括描述最优解的结构、递归定义最优解的值以及计算最优解。 1. 描述最优解的结构（找出状态） 在动态规划中，首先我们需要明确问题的状态。在这个例子中，`F[a][b]` 表示到达棋盘位置`(a, b)`时能够收集到的最大金币数。这便是状态的定义。状态之间存在关联，即`F[a][b]`的值取决于`F[a-1][b]`和`F[a][b-1]`。 2. 递归定义最优解的值（列出状态转移方程） 接下来，我们要找到状态之间的关系，也就是状态转移方程。对于这个问题，状态转移方程是`F[a][b] = max(F[a-1][b], F[a][b-1]) + Coin[a][b]`，其中`Coin[a][b]`代表位于`(a, b)`位置的金币数。这个方程表明，要到达`(a, b)`，我们可以选择从`(a-1, b)`或`(a, b-1)`到达，并取两者中能获得金币较多的路径。 3. 自底向上的方式计算最优解的值 有了状态转移方程，我们可以从较小的子问题开始，逐步计算出较大的问题的解。自底向上的方法避免了重复计算，通常从边界条件开始，如`F[0][0]`，然后逐步扩展到整个问题空间。 4. 由计算出的结果构造一个最优解 若需输出具体的最优路径，可以借助额外的数据结构，如数组`Path`来记录每一步的选择。当计算完`F[a][b]`的值后，通过回溯`Path`数组，可以反向构造出从起点到`(a, b)`的最优路径。 记忆化搜索是动态规划的一种特殊情况，它主要用于解决递归问题中的重复计算。在斐波那契数列的例子中，我们发现计算`Fib(n)`会多次计算相同的子问题。通过存储已经计算过的斐波那契数（如使用数组`F[]`），可以避免重复计算，显著提高算法效率。 动态规划广泛应用于许多领域，包括图论、字符串处理、背包问题、网络流等。理解并掌握动态规划的基本思想和步骤，有助于解决复杂的优化问题，提高算法设计能力。