仿射尺度不精确牛顿法：有界变量约束下的全局收敛与数值有效性

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本文主要探讨了"有界变量约束优化的仿射尺度不精确牛顿法"这一主题，发表于2007年的上海师范大学学报自然科学版第36卷第5期。作者 Guy Ming 和 Zhu Detong 针对存在边界限制的非线性优化问题提出了新颖的求解策略。他们的方法结合了内点线搜索技术与仿射尺度策略，旨在提高求解这类问题的效率和精度。在研究中，作者选择光滑的尺度矩阵，这确保了算法在处理优化问题时能够保持问题的局部特性良好。他们将原始的有界变量约束优化问题转化为一个等效的、边界约束下的最小二乘问题，通过这种方法，问题的复杂性得以简化，便于求解。不精确牛顿法在此过程中被用来确定迭代方向，通过沿着这个方向进行回代，使得势函数不断下降，同时保证每个迭代点始终是严格的可行解。文章的核心贡献在于提出了一种既能保证全局收敛性又能保持局部收敛速度的算法。通过线搜索技术，他们能够确保算法在下降过程中的稳定性，并保持问题的可行性约束。此外，作者还展示了通过这种方法得出的数值结果，这些结果强有力地证明了该算法的有效性和实用性，尤其是在解决实际的有界变量优化问题时。这篇论文提供了一个有效且稳健的策略来处理边界约束的非线性优化问题，对于理论研究者和工程应用者来说，它为优化问题的求解提供了新的视角和工具。通过仿射尺度和不精确牛顿法的巧妙结合，该算法不仅提高了求解效率，还保证了解决过程的准确性，这对于优化领域的实践具有重要意义。

第3 6 卷第 5 期上海师范大学学报(自然科学版) Vol.36,No.5

2007年10月 JournalofShanghai N orm al U niversity( N atural Sciences) 2 007,Oct.

An affinescaling inexactNewton m ethod with

in te r io r p o in t b a c k tr a c k in g te c h n iq u e fo r

nonlinear problem s subject to bounds on variables

GU Yi-ming, ZH U D e-tong

( C ollege of M athem atics and Sciences, Shanghai N orm al U niversity, Shanghai200234, China)

A bstract:

W e prop ose a new affine scaling inexactN ew ton m ethod w ith in te rior p oin t lin e sea rc h tec h n iq u e for so l-

ving the box constrained nonlinear optim iza tion . C h o o sin g the scaling m atrices which have sm oothness properties, we

consider reform ulated least squares with bounded constra in ts su b stitu tin g th e origin a l p rob lem . B y the inexact N ew ton

m eth od w e get a decreasing dire c tion in e ac h ite rate . W e a lso u se lin e sea rc h a lo n g th is d e c rea sin g d ire ctio n to m ak e

th e m e rit fu n c tion adequately degressive and m aintain s tr ic t feasib ility. The alg orith m is sh o w n to b e glob a l an d loc a l

convergent under som e reasonable assum ptions. The results of som e num erical experim e n ts are re p o rte d to sh o w th e

effectiveness of the proposed algorithm .

Keywords:

lin e se a rch ; inexactNewton method; interiorpoint

C L C num ber:

O221.2

D ocum ent code:

ArticleID:

1000-5137(2007)05-0022-08

R eceived date: 2007-05-02

F o u n d a tio n ite m : T h e a u th or g ratefu lly a ck n ow led g es th e p artial supports of the Ph. D . Foundation G rant (0527003) of

C hinese E ducation M inistry and the Science Foundation G rant (06DZ037,05DZ11) ofShanghaiEducation Com m ittee.

B iography: G U Y i-m ing(1974 - ) , m ale, C ollege of M athem atics and Sciences, Sh anghai N orm al U niversity; ZH U D e-

ton g( 1 954 - ) ,m ale, doctor, professor, C ollegeofMath em atics an d S ciences, S han gh ai N orm al U niversity.

1 In tro d u c tio n

W e c o n sid e r th e so lu tio n o f th e n o n lin e a r o p tim iz a tio n p ro b le m w ith b o x c o nstraints:

min f(x) s.t.l≤ x≤ u , (1.1)

where f: R

→ R is a s m o o th n o n lin e a r fu n c tio n a n d th e v e c to rs l, u ∈ { R ∪ { ±∞ } }

,l< u.Letthefeasi-

ble setF = {x ∈ R

| l ≤ x ≤ u } a n d th e s tric t in te rio r fe a s ib le s e t F

={x∈R

|l< x < u}.

Letthe vectorx

∈ F is a stationary pointfor the problem (1.1). Then for every i∈{1,2,…,n}

)

=0 if l

≥0 if x

≤0 if x

{

,(1.2)

where 　f

( x) is the ith com ponent of the gradient vector of f( x) , l

an d x

are the ith com ponents of l, u

and x

, respectively.

D uring the last few years, there have been quite a few papers dealing w ith problem (1.1). These refer-

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