仿射尺度内点法解有界约束非线性方程组

"有界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域方法 (2007年)，SUN Dong-mei, ZHU De-tong - 上海师范大学学报(自然科学版) Vol.36,No.6 - 2007年12月" 该论文提出了一种用于解决有界约束非线性方程组的新方法，即仿射尺度内点信赖域算法，并结合了非单调线搜索技术。在非线性优化领域，这类问题的求解具有重要的理论与实践意义，特别是在科学计算和工程应用中。 仿射尺度内点法是一种改进的信赖域策略，它不同于传统的Coleman和Li提出的仿射尺度。在这种新方法中，作者定义了一个新的最小仿射尺度矩阵，这个矩阵比先前的工作更为一般，允许更灵活的处理约束条件。这种尺度的选择对于保证算法的全局收敛性至关重要，尤其是在处理非线性度高、问题病态的情况时。 信赖域方法的核心在于构造一个局部逼近模型，即线性模型，来代替原非线性问题，并在每次迭代中调整信赖域的大小。在有界约束的非线性方程组中，这些约束限制了变量的取值范围，增加了问题的复杂性。文章中的最小仿射尺度矩阵使得信赖域子问题能够在保持全局收敛性的同时，更好地适应这些约束。 非单调线搜索技术是为了解决高度非线性问题中的局部收敛问题而引入的。传统的线搜索策略可能会导致算法陷入局部极小值，而非单调策略允许算法回溯到以前的迭代点，从而避免陷入不佳的局部解。这种方法能够增强算法的全局搜索能力，尤其对于那些具有多个局部极小值的问题来说，可以提高找到全局最优解的概率。 论文在合理的假设下证明了新提出的最小仿射尺度矩阵具有额外的性质，这些性质确保了算法在全球范围内具有更强的收敛性，即使在没有严格互补性假设的情况下也是如此。严格互补性是许多内点法中常见的一个假设，但在某些实际问题中并不总是成立。 该研究为有界约束非线性方程组的求解提供了一种有效且稳健的方法，通过结合仿射尺度和非单调技术，提高了算法在面对复杂约束和高度非线性问题时的表现。这项工作对优化理论和算法设计领域的研究具有深远的影响，对于实际工程问题的求解也有重要的参考价值。