马尔可夫过程习题与解析

"《随机过程》第二章习题包含了多个关于马尔可夫过程的问题，涉及马氏链的性质、状态空间的确定、转移概率矩阵的构建、概率计算、状态分类以及首达概率等概念。" 马尔可夫过程是一种统计模型，其中系统的未来状态仅依赖于当前状态，而不依赖于它是如何达到该状态的。这被称为无后效性或马尔可夫性质。在这些问题中，我们首先需要识别马尔可夫链的定义和构建方法，然后分析其状态的性质。 1. 题目要求判断随机序列是否构成马尔可夫链，若构成，需给出一步转移概率矩阵。转移概率矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。 2. 天气预报模型被形式化为马尔可夫链，状态空间由过去的天气状况决定，转移概率根据题目描述给出。这涉及对状态之间转移规则的理解和矩阵构建。 3. 对于齐次马氏链，我们需要计算特定状态的概率，这涉及概率乘法规则的应用。 4. 通信系统中的错误传输可以用马尔可夫链建模，其中每个中继站接收正确信号的概率影响着整个链的转移概率。证明[pic]是一个马氏链，并解释条件概率的意义。 5. 对于一个三状态的马尔可夫链，我们需要计算概率并确定状态的类别，包括常返状态和非常返状态。常返状态是指在足够长时间后，系统会返回到该状态的概率为1，而非常返状态则不会。 6. 这些题目要求确定给定转移矩阵下马尔可夫链的状态分类，同样涉及常返性和非常返性的判定。 7. 除了状态分类，还需要计算三步首达概率，即经过三次转移首次到达某个状态的概率，同时讨论链的遍历性，即每个状态都能被无限次访问的概率。 8. 对于一齐次马氏链，我们要计算概率、多步转移概率、首达概率，并分析状态的常返性、周期性，以及链是否遍历。 9. 最后一个问题关注的是从特定状态出发，到达其他状态的吸收概率，这涉及到概率的累加计算和状态的性质分析。 这些问题都涉及到马尔可夫过程的核心概念，包括状态空间的定义、转移概率矩阵的构建、状态的分类（如常返和非常返状态）、首达概率的计算，以及马尔可夫链的遍历性。解答这些问题需要深入理解马尔可夫过程的理论，并能灵活应用这些理论解决实际问题。