使用拟牛顿法计算对称张量$H$-特征值的算法研究

"该文章是关于使用拟牛顿法求解对称张量$H$-特征值的研究，由郝春林、杨红杏和袁园撰写，属于北京工业大学的应用数理学院。对称张量的$H$-特征值在超图谱理论中有重要应用。文中将对称张量的$H$-特征值问题转化为非线性方程组，进而利用拟牛顿法进行求解，并通过数值实验验证了算法的有效性。该研究得到了高等学校博士学科点专项科研基金资助。" 对称张量是多线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。$H$-特征值是张量的一种特性，与传统的矩阵特征值类似，但其定义和性质更为复杂。在超图谱理论中，对称张量的$H$-特征值能提供对超图结构和性质的深入理解，因此其计算具有很高的理论价值和实际意义。 拟牛顿法是一种优化方法，用于求解非线性方程组或最小化非线性函数。它在没有直接获取目标函数二阶导数信息的情况下，通过构造近似的汉明矩阵来逼近牛顿法的迭代过程。这种方法的优点在于，相比于牛顿法，它通常更易于实现且对初始条件的敏感性较低。 在该研究中，作者首先将对称张量的$H$-特征值问题转化为一个非线性方程组。这一步骤通常是通过构建与特征值问题相关的方程来完成的，比如通过泰勒展开或特征值方程的代数表示。然后，利用拟牛顿法来迭代求解这个非线性方程组。在每一步迭代中，都会更新近似的汉明矩阵，以适应当前的搜索方向，从而逐步接近特征值的解。 数值实验是验证算法有效性和效率的关键步骤。作者通过设计和执行一系列的数值实验，证明了所提出的拟牛顿法在解决对称张量$H$-特征值问题时的可行性。这些实验可能包括对不同规模的张量进行计算，以及对比其他已知方法的性能。 总结来说，该研究为对称张量$H$-特征值的计算提供了一个新的算法，利用拟牛顿法解决了非线性方程组的问题，这对于超图谱理论和其他依赖于张量特征值的领域的研究具有重要贡献。同时，通过数值实验，该方法的实用性和可靠性得到了验证。