张量扩展特征值计算：带位移幂法与共轭梯度法

"这篇论文是2016年由王佳佳、赵金玲和徐尔发表在《河南科技大学学报（自然科学版）》上的，属于自然科学领域的研究，得到了国家自然科学基金和北京高校青年英才计划基金的支持。论文主要探讨了张量扩展特征值问题的解决方法，提出了带位移幂法和共轭梯度法，并分析了这两种算法的收敛性，通过数值试验进行了验证和比较。" 在数学和计算科学中，张量是一个多维数组，其理论和应用在多个领域中都有重要地位，特别是在高阶线性代数中。张量的特征值问题与传统的矩阵特征值问题相似，但在更高维度上进行，对于理解和处理复杂数据结构具有重要意义。例如，在多项式优化、高阶马尔科夫链和超图理论等领域的研究中，都需要计算张量的特征值。 论文首先提及了前人的工作，如文献[1]提出的不可约非负张量的最大特征值的幂法，以及文献[2]对高阶幂法的探讨。文献[3]和[4]则分别介绍了带位移对称高阶幂法和梯度算法来计算实对称张量的特征值。文献[5]通过平方和规划处理张量特征值问题，而文献[6-7]将张量特征值问题转换为非线性方程组，利用牛顿法和拟牛顿法求解。 本文的核心贡献在于，针对与牛顿迭代相关的张量扩展特征值问题，提出了一种新的方法。张量扩展特征值问题是由牛顿迭代法与张量特征值之间的关系引出的，形式化为非线性方程组。论文中的带位移幂法和共轭梯度法是在幂法基础上的改进，目的是更有效地求解张量的特征值和特征向量。这两种算法的收敛性分析表明它们在特定条件下能够收敛，数值试验的结果初步验证了它们的有效性。 带位移幂法引入了位移参数，有助于避免幂法中可能遇到的局部极小值问题，而共轭梯度法则利用梯度信息加速收敛，尤其在处理大型稀疏问题时效率较高。通过对这两种方法的比较，研究者能够为实际问题选择更适合的算法。 这篇论文深入研究了张量扩展特征值问题的计算方法，为高阶张量分析提供了新的工具，并通过理论分析和数值实验为这一领域的研究提供了有价值的参考。这些成果对于提高高阶数据处理的效率和准确性具有重要意义，尤其是在数据分析、机器学习和工程应用等需要处理高维数据的领域。