算法艺术：最小生成树教学——Boruvka, Prim与Kruskal算法详解

《算法艺术与信息学竞赛》是一套针对算法图论的教学幻灯片，特别关注第七讲的主题——最小生成树。该部分讲解了最小生成树问题的基本概念，它是图论中的一个重要课题，旨在找到一个连通图中权重之和尽可能小的树，使得所有顶点都被包含其中。 首先，定义了一个最小生成树（MST）的关键要素：它必须是一个连通图且构成一棵树，同时要求所有的边权之和最小。为了求解最小生成树，通常假定图中没有相等的边。算法的核心是维护一个生成森林F，通过判断哪些边是“安全边”（即不在森林中但连接不同分量的边），而“无用边”则是那些两端点都在同一个分量内的边。MST就是由所有安全边组成，不包含无用边。 接下来是三种具体的最小生成树算法的介绍： 1. Boruvka算法：由Boruvka在1926年提出，这是一种基于分治的思想，每个子集选择一个代表（leader），并通过深度优先搜索确定连接。算法在每次迭代中更新边的权值，直到每个分量合并成一棵树，总时间复杂度为O(ElogV)，其中E表示边的数量，V表示顶点的数量。 2. Prim算法：尽管Prim算法通常归功于Prim，实际上Jarnik在1930年就已经提出。Prim算法专注于构建一棵树，每次从当前树中选择一个安全边并将其加入，使用堆数据结构存储到每个顶点的安全边。这个过程重复V次，堆操作共进行V次，总体时间复杂度为O(E+VElogV)。 3. Kruskal算法：这是一种基于贪心策略的算法，按边的权值从小到大排序，依次选择并加入不会形成环的边，直到所有顶点都连接起来。Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。 课程还包括练习题，如证明最小边总是存在于某个最小生成树中，以及处理边权变化时如何重新计算MST等问题。这些练习有助于学生深入理解和应用最小生成树算法。 在整个课程中，教师强调了这些算法的应用背景和理论基础，鼓励学生在实际竞赛或项目中灵活运用这些算法。同时，教学幻灯片的作者刘汝佳和黄亮还提供了配套的博客资源，以便读者获取更多信息和支持，以及对教学材料进行个性化修改。