数论对偶函数研究：b*(n)与bk(n)的性质与联系

"该文章是《西安工程大学学报》2013年第2期的一篇论文，作者袁泉来自西北大学数学系。文章主要研究了数论中的对偶函数，特别是关于一个特定的数论函数bk(n)及其对偶函数b*k(n)。bk(n)定义为最大满足m乘以i的k次方小于等于n的m的值，而b*k(n)则是最小满足m乘以i的k次方大于等于n的m的值。作者通过初等方法探讨了b*k(n)的均值性质，给出了一个渐近公式，并分析了b*k(n)与bk(n)之间的关系。文章还引用了前人的研究成果，包括和对偶、积对偶、整体对偶等概念，以及数论函数b.k(n)的相关研究。" 这篇论文关注的是数论中的对偶函数概念，特别是在解决数论问题时的重要性和应用。作者袁泉首先定义了数论函数bk(n)，它是一个基于正整数k和自然数n的函数，表示能够使m个i的k次方之和不超过n的最大的m值。这个函数在数论中有着重要的作用，因为它可以帮助我们理解数的组合特性。 接着，袁泉引入了bk(n)的对偶函数b*k(n)，这是最小的m值，使得m个i的k次方之和至少为n。这个定义揭示了两个函数之间的互补性，它们共同构成了数论问题中的对偶性。 论文的一个关键贡献是研究了b*k(n)的均值性质。通过对这个函数的深入分析，袁泉得出一个有趣的渐近公式，这个公式揭示了当n趋于无穷大时，b*k(n)的平均行为。这个渐近公式对于理解函数在大数范围内的行为非常有用。 此外，作者还探讨了b*k(n)与bk(n)之间的联系。这种联系可能涉及到这两个函数的相互转化，以及在某些数论问题中的相互作用。通过比较和对比这两个函数，袁泉可能发现了新的性质或者证明了某些已知性质的等价性。 论文引用了其他研究作为背景，这些研究涉及了数论中的对偶原理，如和对偶、积对偶和整体对偶，以及与bk(n)相关的求和方法。这表明，袁泉的工作建立在先前研究的基础上，同时又为这个领域提供了新的见解。 这篇论文为数论中的对偶函数提供了一个新的视角，通过初等方法揭示了这些函数的内在性质和它们之间的复杂关系，这对于深化我们对数论的理解具有重要意义。