探索数论基础:整除、公约数与数论函数

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数论讲义深入探讨了数论这一纯粹数学分支的核心概念。该学科主要关注整数的特性,特别是它们在方程式中的解(丢番图方程)以及质数的性质。黎曼ζ函数是一个关键工具,它蕴含着数论问题的答案,同时也揭示了实数和有理数之间的联系。通过丢番图逼近,我们可以用有理数逼近实数。 数论分为初等数论和高等数论两个层面。初等数论侧重于基础的分析,如整除理论、同余理论和连分数理论,这些方法主要依赖于整数环的整除性质。例如,对于正整数n和m,如果存在整数q使得n=qm,我们就说m整除n,或者m是n的约数,n是m的倍数。此外,讲义还介绍了最大公约数的概念,即找到两个正整数a和b的最大公共因数gcd(a,b),以及它们的性质,如d是a,b的公约数等价于d|gcd(a,b)。 互质性是数论中的另一个重要概念,表示两个正整数a和b之间没有大于1的公约数,即gcd(a,b)=1,通常写作a与b互质。取整函数也是一个核心概念,对于实数x,⌊x⌋定义为不超过x的最大整数,满足⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1。这个函数在处理数论问题时尤其有用,比如确定1到n中d的倍数个数。 更进一步,数论函数求和涉及对特定函数在整数集上的和的研究,这在解决数论问题时往往能提供关键的数值结果。讲义中提到的性质表明,对于任意的x和正整数a,b,取整函数的组合遵循一定的规律,如⌊⌊x/a⌋/b⌋=⌊x*ab⌋。 最后,数论讲义还探讨了特殊点的概念,这些是形如⌊n/d⌋的数,它们在讨论数论函数的分布和求和时具有重要意义。当讨论小于等于n的d的倍数时,关注这些特殊点的数量有助于理解问题的结构。 总结来说,数论讲义涵盖了从基础概念(如整除、最大公约数和互质性)到高级技巧(如数论函数求和和特殊点的分析),为理解整数世界提供了坚实的数学框架。无论是解决实际问题还是深化数学理论,这些内容都是不可或缺的基石。
2010-08-14 上传
内容简介: 本书论述了算法数论的基本内容,其中包括:连分数、代数数域、椭圆曲线、素性检验、大整数因子分解算法、椭圆曲线上的离散对数、超椭圆曲线。本书的特点是内容涉及面广,在有限的篇幅内,包含了必要的预备知识和数学证明,尽可能形成一个完整的体系。并且本书的部分内容曾多次在中国科学院研究生院信息安全国家重点实验室和广州大学作为硕士研究生教材使用。本书可作为信息安全、数论等专业的研究生教材及相关专业的研究人员、高等学校的教师和高年级学生的参考。 目录: 序 前言 第一章 整数的因子分解 1.1 唯一分解定理 1.2 辗转相除法(欧氏除法) 1.3 Mersenne素数和Fermat素数 1.4 整系数多项式 1.5 环Z和Z[ω] 习题一 第二章 同余式 2.1 孙子定理 2.2 剩余类环 2.3 Euler函数ρ(m) 2.4 同余方程 2.5 原根 2.6 缩系的构造 习题二 第三章 二次剩余 3.1 定义及Euler判别条件 3.2 Legendre符号 3.3 Jacobi符号 习题三 第四章 特征 4.1 剩余系的表示 4.2 特征 4.3 原特征 4.4 特征和 4.5 Gauss和 习题四 第五章 连分数 5.1 简单连分数 5.2 用连分数表实数 5.3 最佳渐近分数 5.4 Legendre判别条件 习题五 第六章 代数数域 6.1 代数整数 6.2 Dedekind整环 6.3 阶的一些性质 第七章 椭圆曲线 7.1 椭圆曲线的群结构 7.2 除子类群 7.3 同种映射 7.4 Tate模和Weil对 7.5 有限域上的椭圆曲线 习题七 第八章 在密码学中的一些应用 8.1 RSA公钥密码 8.2 Uiffie-Hellman体制 8.3 ElGamal算法 8.4 基于背包问题的公钥密码 8.5 秘密共享 第九章 素性检验 9.1 Fermat小定理及伪素数 9.2 强伪素数及Miller-Rabin检验 9.3 利用n-1的因子分解的素性检验 9.4 利用n+1的因子分解的素性检验 9.5 分圆环素性检验 9.6 基于椭圆曲线的素性检验 第十章 大整数因子分解算法 10.1 连分数因子分解算法 10.2 二次筛法 10.3 Pollard的P-1因子分解算法 10.4 椭圆曲线因子分解算法 10.5 数域筛法 习题十 第十一章 椭圆曲线上的离散对数 11.1 椭圆曲线公钥密码 11.2 小步-大步法 11.3 家袋鼠和野袋鼠 11.4 MOV约化 11.5 FR约化 11.6 SSSA约化 11.7 有限域上离散对数的计算 第十二章 超椭圆曲线 12.1 超椭圆曲线的Jacobian 12.2 虚二次代数函数域 12.3 基于超椭圆曲线的公钥密码 附录 一些常用算法 A.1 不可约多项式的判别 A.2 有限域中平方根的求解 A.3 有限域上的分解 A.4 Hensel引理 A.5 格 A.6 Z[x]中多项式的分解 参考文献 免责申明:此书是我在网络上获取的,希望对大家有用。资源版权归作者及其公司所有,如果你喜欢,请购买正版。~~~