线性可分支持向量机的对偶问题求解

"该资源是关于两类线性可分支持向量机(SVM)的求解，主要讨论了线性支持向量机的对偶问题及其在Matlab环境下的求解方法，涉及到优化问题的表达式、Lagrange乘子以及求解步骤。" 在机器学习领域，支持向量机（SVM）是一种广泛应用的监督学习模型，尤其适用于分类任务。对于两类线性可分的问题，SVM的目标是找到一个超平面最大化分类边距。在本资料中，我们关注的是如何求解这个问题。 线性可分支持向量机的问题可以表示为一个凸优化问题。给定的训练数据集由特征向量Xn和对应的类别标签yn组成，目标是找到一个权重矢量W和偏置项b，使得所有样本都能被正确分类且边距最大化。优化问题的原始形式如(4-34)所示： \[ \min_{W,b} \frac{1}{2} \|W\|_2^2 \] \[ \text{s.t. } y_n (W \cdot X_n + b) \geq 1, \quad n = 1, 2, ..., N \] 这里的\( \|W\|_2^2 \)是W的L2范数平方，表示模型复杂度；y_n是样本的类别标签，可以取+1或-1；W·X_n是内积，表示样本X_n在W方向上的投影；b是决定超平面位置的偏置项。 为了求解这个问题，我们通常会转到它的对偶问题，这可以通过引入Lagrange乘子A来实现。Lagrange乘子A是一个列向量，其元素ai对应于每个样本的约束条件。Lagrange函数L是原始问题与约束条件的组合，如(4-35)所示： \[ L(W, A, b) = \frac{1}{2} \|W\|_2^2 - \sum_{n=1}^{N} a_n (y_n (W \cdot X_n + b) - 1) \] 对偶问题的目标是最大化L，并且满足0≤ai≤1的约束条件。通过对L进行最大化，我们可以找到最优的A，进而求得W和b。这个过程可以通过拉格朗日对偶性完成，首先求导并设置等于0，得到(4-36)： \[ W = \sum_{n=1}^{N} a_n y_n X_n \] 然后，将此结果代回Lagrange函数，得到对偶问题的优化目标： \[ \max_{A} \sum_{n=1}^{N} a_n - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{N} a_n a_k y_n y_k (X_n \cdot X_k) \] \[ \text{s.t. } \sum_{n=1}^{N} a_n y_n = 0, \quad 0 \leq a_n \leq 1, \quad n = 1, 2, ..., N \] 解决这个对偶问题通常采用QP（Quadratic Programming）算法，如SMO（Sequential Minimal Optimization）算法，在Matlab环境中，可以利用内置的优化工具箱或其他专门用于SVM的库来实现。 总结来说，这个资料介绍了两类线性可分支持向量机的对偶问题求解方法，包括问题的数学表述、Lagrange乘子的引入以及对偶问题的构建。通过理解和应用这些概念，可以有效地在Matlab中实现和支持向量机的学习和分类任务。