拟蒙特卡罗方法计算点模型体积的高效算法

"本文介绍了一种使用拟蒙特卡罗方法计算点模型体积的技术，这种方法基于体积加细的八叉树构造，并利用低差异数序列来提高计算效率和精度。" 拟蒙特卡罗方法是一种统计模拟技术，源自蒙特卡罗方法，常用于解决复杂的计算问题，特别是涉及体积和边界计算的问题。在三维空间中，如果有一个实体 "! "，我们可以将其放入一个包含它的参考立方体 "! 9" 中。通过生成大量（" " 个）在立方体内均匀分布的伪随机点，然后检查这些点是否位于实体内部。如果点位于实体内，计数器加一，记为 " " - (。根据蒙特卡罗原理，实体的体积 "! " 可以近似为生成的随机点中位于实体内的点数与总点数的比例乘以参考立方体的体积，即 # " # 9 " - ( ( )。 然而，蒙特卡罗方法的收敛速度较慢，误差与随机点数的平方根成反比。为了改善这一情况，人们引入了拟蒙特卡罗方法，它使用低差异数序列替代伪随机数。低差异数序列在采样空间中的分布更加均匀，这使得拟蒙特卡罗方法的收敛速度通常比蒙特卡罗方法快数百倍，从而提高了计算精度。 近年来，拟蒙特卡罗方法被应用于计算由 # $ % 数据表示的实体的体积和面积。使用 C - / 1 / + + / - * / + 低差异数序列的拟蒙特卡罗方法，其误差阶次为 $ ( " B 9 0 ’ 2 % " )，在三维问题中，误差阶次为 $ ( " B 9 0 ’ 2 : " )。 在具体应用中，文章提出了基于点模型的八叉树结构，以此为基础在点模型的包围盒内生成低差异数序列的随机点。点模型的体积可以通过计算位于模型内的点数与总点数的比例，再乘以包围盒体积来估算。实验结果显示，该算法简单、高效，能快速准确地计算具有任意拓扑结构的封闭模型的体积，并且与平滑运算相结合，可以实现保体积的平滑处理。 关键词涉及到点模型、体积计算、拟蒙特卡罗方法以及八叉树，表明该研究结合了计算机图形学和数值计算领域的技术，适用于3D几何建模和分析。文章的发表还得到了多个科研项目的资助，包括国家自然科学基金、国家重点基础研究发展规划项目等，显示出其在学术研究中的重要性。