C omputer Engineering and Applications计算机工程与应用2014,50(7)
1 引言
Bézier 是计算机辅助几何设计中的重要模型之一,
它基于 多项 式空 间定义,不能精 确 表 示 si n、cos、sinh、
cosh 这些三角和双曲函数。因此,表示椭圆、双曲线等
经典曲线需要采用有理形式
[1]
。近年来,三角和双曲函
数的加入使得椭圆和双曲线不用有理形式,于是,这些
非多项式空间的拟 Bézier 系统
[2]
,比如,三角多项式空间
的 p-Bézier
[3]
,双曲多项式空间的拟 Bézier
[4]
,混合代数三
角空间的 C-Bézier
[5-6]
,混合代数双曲空间的 H-Bézier
[7]
,
以及统一代数、三角、双曲
[8-9]
的ω-Bézie r和 AHT Bézier
[10]
线性双曲拟 Bézier曲线的几何图形
沈莞蔷
1
,汪国昭
2,3
SHEN Wanqiang
1
, WANG Guozhao
2,3
1.江南大学 理学院,江苏 无锡 214 122
2.浙江大学 数学系,杭州 310027
3.浙江大学 CAD & CG 国家重点实验室,杭州 310027
1.Sc hool of Science, Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu 214122, China
2.Depa rtment of Mathematics, Zhejiang University, Han gzhou 310027, China
3.State Key Laboratory of CAD & CG, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China
SHEN Wanqiang, WANG Guozhao. Geometric figure of linear hyperbolic Bézi er-like curve. Computer Engineering
and Applications, 2014, 50(7):10-14.
Abstract:The ai m of the p aper is to do further study on the geometric properties of linear hyperbolic Bézier-like curves.
A given hyperbola with standard equation is chan ged in to the linear hyperbolic Bézier-like form by using geome tric and
parametric transformations. Comparing the new-form hyper bola with any linear hyperbolic Bézier-like curv e, some equations
are gotten. By solving the equations, a conclusion that any non -degenerate linear hyperbolic Bézier-like curve is a segment
of a hyperbola is drawn. The expl icit expressions of the geometric elements of the h yperbola, such as the center, the vertices
of the real and imaginary axes, and the foci, in term s of the control po ints of the linear hyperboli c Bézier-like curve, are also
obtained. The theoretical analysis and exam ples show that all the above-mentioned geometric el ements of the hyperbola
can be given by the bilinear interpolation forms of the control points of the linear hyperbolic Bézier-like cu rve.
Key words:computer aided geometric design; linear hyperbolic Bézier-lik e curve; hyperbola; e xpl icit expression; bilinear
interpolation
摘 要:为进一步研究线性双曲拟 Bézier曲线的几何性质,从标准的双曲线方程出发,使用几何变换与参数变换,将
其化为线性双曲拟 Bézier 曲线的形式;经过与任意线性双曲拟 Bézier 曲线相比较,得到方程组以求解,从而得出非退
化的线性双曲拟 Bézier 曲线必为双曲线的结论,并给出该双曲线的中心、实、虚轴顶点和焦点这些几何元素关于控
制顶点的显式表达;通过理论和实例表明,提出的双曲线的几何元素均可由线性双曲拟 Bézier曲线控制顶点的双线
性插值得到。
关键词:计算机辅助几何设计;线性双曲拟 Bézier曲线;双曲线;显式表达;双线性插值
文献标志码:A 中图分类号:TP391.7 doi:10.3778/j.issn.1002-8331.1308-0292
基金项目:国家自然科学基金重点项目(No.60933008);国家自然科学基金面上项目(No.61272300);江苏省自然科学青年基金
(No.BK20130117);中央高校基本科研业务费专项资金(No.JUSRP211A22)。
作者简介:沈莞蔷(1981—),女,博士,讲师,研究领域为计算机辅助几何设计,计算机图形学;汪国昭(1944—),男,教授,博导,研
究领域为计算机辅助几何设计,计算机图形学,医学图像处理。E-mail:wq_shen@163.com
收稿日期:2013-08-22 修回日期:2013-10-18 文章编号:1002-8331(2014)07-0010-05
CNKI网络优先出版:2013-11-15, http://www.cnki.net /kcms/detail/11.2127.TP.20131115.1120.002.html
10