递增式线性规划：铸造中的优化算法

递增式线性规划是一种在计算流体力学与传热学中应用的优化算法，特别是在铸模制造这类实际工业问题中。它起源于线性规划理论，这是一种运筹学分支，旨在寻找一组线性约束条件下最大化或最小化某个线性函数的解。传统的线性规划算法要求找出所有满足约束的解，但针对铸模制造这类问题，只需要找到一个可行解即可，这就允许设计出效率更高的算法。 递增式线性规划的核心思想是通过逐步增加约束来简化问题，而不是一次性处理所有约束。这种方法在面对大量线性约束时尤其有用，因为不是所有约束都需要同时考虑。它的主要优势在于时间复杂度上，相比于求解整个解集的O(nlogn)，递增式方法可能达到更优的时间复杂度，特别是当目标仅是找到一个可行解时。 章节4.3详细介绍了如何运用递增式策略解决半平面的求交问题，这是线性规划的基础。半平面是由线性不等式定义的区域，这些区域的交集即为线性规划的可行解域。递增式方法通过逐个加入约束，每次找到新的可行解，直到所有约束都被考虑，或者找到一个可行解为止。这种方法避免了不必要的计算，特别适用于约束数目庞大且目标是找到一个近似解的情况。 线性规划问题通常由目标函数和一组线性约束组成，输入包括系数矩阵、常数项以及目标函数。维度d指的是问题中变量的数量。理解这些概念有助于理解递增式线性规划在实际应用中的作用，例如在铸造过程中优化模具设计，确保在材料可用性和成本限制下，找到最优的生产方案。 此外，章节还提到了一些相关的计算几何算法，如凸包的求解、线段求交、多边形的三角剖分、区域查找技术（如kd-树和区域树）、点定位算法，以及Voronoi图和排列对偶等，这些都是递增式线性规划的支撑技术，它们相互交织，共同推进了现代计算机图形学和优化算法的发展。 递增式线性规划是一个结合了理论与实践的方法，它不仅涉及线性代数、优化理论，还包括了计算几何的诸多技巧，对于理解和解决实际工程问题具有重要意义。通过掌握这一技术，工程师能够有效地解决复杂系统中的资源分配、调度和决策问题，提高生产效率和降低成本。