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实用最优化方法:第三版
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更新于2024-07-19
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"实用最优化方法 - 第三版 - 唐焕文,秦学志 编著 - 大连理工大学出版社" 《实用最优化方法》是唐焕文和秦学志两位作者合作编著的一本关于最优化理论与应用的研究生教材。这本书已经更新到第三版,由大连理工大学出版社出版。在中国版本图书馆CIP数据核字中注册,具有正规的出版信息和ISBN号码。该书主要针对高等教育阶段的学生,同时也适用于科研工作者和相关专业人员作为参考资料。 最优化方法是数学、工程和计算机科学等领域中的核心内容,它研究如何在给定条件下找到最佳解,比如最小化成本、最大化效益或者寻求最佳分配等。书中详细介绍了各种优化算法和技术,可能包括线性规划、动态规划、非线性规划、整数规划、随机优化、梯度法、牛顿法、拟牛顿法、遗传算法、粒子群优化等。 第三版的更新可能涉及了近年来在教学和科研实践中遇到的新问题以及最优化领域的最新发展。作者可能对原有的内容进行了修订,增加了新的案例研究和实际应用,以更好地适应现代科技和工业界的需求。此外,书中的例子和习题可能更加丰富,旨在帮助学生深入理解理论并提升解决实际问题的能力。 本书还可能涵盖了如何将这些优化方法应用于不同领域,如运筹学、经济学、机器学习、信号处理、网络优化等。通过阅读本书,读者不仅可以掌握最优化的基本理论,还能学习如何选择合适的优化工具来解决实际问题,并了解如何评估和比较不同算法的性能。 总体而言,《实用最优化方法》第三版是一本全面、深入且与时俱进的教材,对于学习和研究最优化理论及其应用的人来说,是一份宝贵的资源。它不仅教授理论知识,还强调了实践应用,有助于培养解决实际问题的能力。
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要求全厂年产值在
1...
万元以上
’
求当消耗的总工时最少
时
’
该厂生产各种产品的数量
"
解 设该厂全年生产
>#@#S#T
四种产品的数量分别为
Q
1
’
Q
-
’Q
*
’Q
/
!
单位均为吨
"’
消耗的总工时为
f’
则
fW 1..Q
1
g *..Q
-
g /..Q
*
g 68Q
/
消耗的总工时
f
最少是我们所追求的目标
’
所以把
fW 6!Q
1
’
Q
-
’Q
*
’Q
/
"
称为目标函数
"
而变量
Q
1
’Q
-
’Q
*
’Q
/
的值是我们需要确
定的
’
称
Q
1
’Q
-
’Q
*
’Q
/
为决策变量或设计变量
"
因为要求全厂的年产值在
1...
万元以上
’
所以决策变量
Q
1
’
Q
-
’Q
*
’Q
/
还需要满足以下的限制条件
,
Q
1
g 8Q
-
g 1.Q
*
g .(8Q
/
h 1.... !1"
Q
Y
h .’YW 1’-’*’/ !-"
条 件
!1"#!-"
称为限制条件或约束条件
"
所以上述问题的数学模
型可概述如下
"
在约束条件
!1"#!-"
之下
’
确定变量
Q
1
’Q
-
’Q
*
’Q
/
的数值
’
使
目标函数
fW 6!Q
1
’Q
-
’Q
*
’Q
/
"
取得最小值
"
为叙述简便
’
以下文中
常将此问题简写为
GIP fW 1..Q
1
g *..Q
-
g /..Q
*
g 68Q
/
8(M( Q
1
g 8Q
-
g 1.Q
*
g .(8Q
/
h 1....
Q
Y
i
j
h
k
.’ YW 1’-’*’/
!171"
其中
GIP
是
GIPIGIl.
的缩写
’8(M(
是
8L:;.QMM<
的缩写
’
中文意思
是
9
受约束于
=
或
9
约束条件
="
由于在最优化问题
!171"
中
’
目标函
数
fW 6!Q
1
’Q
-
’Q
*
’Q
/
"
是变量
Q
1
’Q
-
’Q
*
’Q
/
的线性函数
’
约束条件
是
Q
1
’Q
-
’Q
*
’Q
/
的线性不等式
!
或等式
"’
所以把
!171"
称为线性规
划问题
’
线性规划
!TIP.H/D/<m/HGGIPm"
以后简记为
TD"
d
例
Y()e
运输问题
假设某种物资有
n
个产地
’L
个销地
"
第
Y
个产地的产量为
o
Y
!YW 1’-’<’n"$
第
_
个销地的需要量为
p
_
!_W 1’-’<’L"’
其中
%q%
实用最优化方法
r
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/10042316/bg11.jpg)
X
YW
n
1
o
Y
h
X
_W
L
1
p
_
"
由产地
Y
到销地
_
的距离为
s
Y_
’
问应如何安排运输
’
才能既满足各地的需要
’
又使所花费的运输总吨公里数最少
t
试建
立数学模型
"
解 我们来建立上述问题的数学模型
’
设由产地
Y
运往销地
_
的货物数量为
Q
Y_
’u
为运输的总吨公里数
’
则上述问题可归结为如
下的线性规划问题
GIP
,
uW
X
YW
n
1
X
_W
L
1
s
Y_
Q
Y_
8(M(
X
YW
n
1
Q
Y_
W p
_
’_W 1’-’<’L
!
满足各销地的需要量
"
X
_W
L
1
Q
Y_
v o
Y
’YW 1’-’<’n
!
各产地的运出量不超过产量
"
Q
Y_
i
j
h
k
.’YW 1’-’<’n$_W 1’-’<’L
!17-"
运输问题是线性规划中的一个典型问题
’
也是线性规划模型
中最早被研究的一类问题
"
早在
1:*:
年
’
前苏联数学家康托洛维
奇
!
w
(
x
(
yz{|}~}!"#
"
在列宁格勒大学所作的题为
9
生产组织与计
划中的数学方法
=
的报告中
’
就讨论了交通运输和生产计划中所提
出的线性规划问题
’
并给出了一种解法 解乘数法
"
d
例
Y(]e
拟订生产计划问题
设有
n
种资源
,>
1
’>
-
’<’>
n
’
拟生产
L
种产品
,@
1
’@
-
’<’
@
L
"
用
o
Y_
表示生产一个单位的第
_
种产品所需要第
Y
种资源的数
量
’
用
p
Y
表示第
Y
种资源的最大数量
’
用
$
_
表示第
_
种产品的单价
’
用
Q
_
表示第
_
种产品的生产数量
"
则
3W !Q
1
’Q
-
’<’Q
L
"
,
就代表一
个 生产计划
’
我们的问题是
,
要设法安排一个生产计划
’
使每种产
%%%
r
第
1
章 引 论
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/10042316/bg12.jpg)
品都完成或超额完成国家下达的产量计划
’
即有
Q
_
h &
_
!_W 1’-’
<’L"’
而使总产值最高
’
其中
&
_
!_W 1’-’<’L"
为国家下达的生
产第
_
种产品的产量指标
"
解 在这个问题中
’
决策变量为
Q
1
’Q
-
’<’Q
L
"
设总产值为
f’
则上述问题可化为如下的线性规划问题
GH
,
7 fW
X
_W
L
1
$
_
Q
_
8(M(
X
_W
L
1
o
Y_
Q
_
v p
Y
’YW 1’-’<’n
Q
_
h &
_
i
j
k
’_W 1’-’<’L
!17*"
采用向量
#
矩阵记号
’
则
!17*"
可写成
GH7 fW m
,
8
3
(M( Z3v c
i
j
3hk ‘
!17*
’
"
其 中
3W !Q
1
’Q
-
’<’Q
L
"
,
’mW !$
1
’$
-
’<’$
L
"
,
’cW !p
1
’p
-
’<’
p
n
"
,
’‘W !&
1
’&
-
’<’&
L
"
,
’ZW !o
Y_
"
nW L
’3h ‘
表示向量
3
的每一
个分量
Q
_
都大于或等于向量
‘
的每一个相应的分量
&
_
’
,
表示向量
或矩阵的转置
"
d
例
Y(*e
合理下料问题
设要用某类钢板下
n
种零件
>
1
’>
-
’<’>
n
的毛坯料
"
根据既
省料又容易操作的原则
’
人们在一块钢板上
’
已设计出
L
种不同的
下料方案
’
设在第
_
种下料方案中
’
可得到零件
>
Y
的个数为
o
Y_
’
第
Y
种零件的需要量为
p
Y
!YW 1’-’<’n"(
问应如何下料
’
才能既满
足需要
’
又使所用钢板的总数最少
t
试建立数学模型
"
解 设采用第
_
种方案下料的钢板数为
Q
_
’
所用钢板的总数
为
f’
则上述问题可化为如下的最优化问题
,
%(%
实用最优化方法
r
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/10042316/bg13.jpg)
GIP fW
X
_W
L
1
Q
_
8(M(
X
_W
L
1
o
Y_
Q
_
h p
Y
’YW 1’-’<’n
!
第
Y
种零件的总数不少于需要量
"
Q
_
h .’
Q
_
4 )’
i
j
_W
k
1’-’<’L
!17/"
其中
)W ‘.’1’-’<’L’<a(
在问题
!17/"
中
’
由于
Q
_
表示用第
_
种
方案下料的钢板数
’
所以应有
Q
_
4 )’
即
Q
_
应取整数值
’
这样的问
题
!17/"
称为整数线性规划问题
"
d
例
Y(0e
汽轮机叶片的优化设计
设汽轮机叶片面积的变化规律为
`!Q"W `
.
) oQ
n
其中
`
.
为叶片根部面积
’
根据热力学计算可求得各级叶片的平均
半径
+
,
和叶片高度
À’
欲确定参数
`
.
’o’n
的值
’
使其在强度许可
的条件下
’
叶片的重量最轻
’
试建立数学模型
"
解 强度条件为
.
,
v P.R’
其中
P.R
是简单拉伸的许用应力
’
.
,
是叶片截面上的最大拉应力
"
.
,
W /0
-
À+
,
P1) !1)
`
1
`
.
"!
1
ng 1
g
n
T
,
À
!ng 1"!n g -"
"R
!178"
上式中的
/#0#À#+
,
为已知常数
’T
,
W -+
,
’`
1
W `
.
) oÀ
n
为叶片
顶部面积
’/
为密度
’
则叶片的重量为
pW
2
À
.
/3`!Q"KQW /3P`
.
À)
o
ng 1
À
ng 1
RW 6!`
.
’o’n"
所以汽轮机叶片的优化设计问题归结为在约束条件
.
,
v P.R’`
.
h !`
.
"
GIP
之下
’
求参数
`
.
#o#n
的值
’
使目标函数
pW 6!`
.
’o’n"
%4%
r
第
1
章 引 论
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/10042316/bg14.jpg)
取得最小值
"
这里的目标函数和约束函数都是变量
`
.
#o#n
的非
线性函数
’
所以称它为非 线性 规划 问题
"
非线 性规 划
!5<PJIP.H/
N/<m/HGGIPm"
以后常简写为
5TD"
d
例
Y(1e
在船体的数学放样中
’
常会遇到下面的问题
’
已知
平面上
L
个点
,!Q
1
’f
1
"’!Q
-
’f
-
"’<’!Q
L
’f
L
"’
我们希望用下面的
样条函数来拟合这
L
个点
6
"
!Q"Wo
.
g o
1
Qg o
-
Q
-
g o
*
Q
*
g o
/
!Q) Q
1
"
*
5
g
< g o
Lg*
!Q) Q
L
"
*
5
其中
!Q) Q
Y
"
*
5
W
1
-
P[Q) Q
Y
[
*
g !Q) Q
Y
"
*
R’YW 1’-’<’L
为了保证求出的曲线
fW 6!Q"
与连结已知
L
个点所成的曲线具
有相同的拐点
’
应要求
/
Y
66!Q
Y
"h .’YW -’*’<’L) 1’
其中
/
Y
W
-
Q
Yg 1
) Q
Y) 1
f
Yg 1
) f
Y
Q
Yg 1
) Q
Y
)
f
Y
) f
Y) 1
Q
Y
) Q
J K
Y) 1
所以上述问题可归结为
GIP uW
X
YW
L
1
P6!Q
Y
") f
Y
R
-
8(M( /
Y
66!Q
Y
i
j
k
"h .’YW -’*’<’L) 1
!179"
d
例
Y([e
投资决策问题
设在一段时间
!
比如三年
"
内
’
有
@
亿元的资金可用于投资
’
有
n
个项目
>
1
’>
-
’<’>
n
可供挑选
"
若对项目
>
Y
进行投资
’
需花
费资金
o
Y
亿元
’
可获得收益
$
Y
亿元
’
试确定最佳的投资方案
"
解 引入布尔变量
Q
Y
W
1’
若对
>
Y
投资
.’
’
若对不
>
Y
投资
i
j
k
’
YW 1’-’<’n
则约束条件为
%7%
实用最优化方法
r
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