MATLAB数值计算入门：函数极值与数值积分

"数值积分-变压器与电感器设计手册-第四版（中文）" 本文主要讨论了数值积分在MATLAB中的应用，以及如何利用MATLAB寻找函数的极小值点。在数学中，函数的极小值点是函数取局部或全局最小值的位置。在优化问题中，找到这样的点具有重要意义。 在MATLAB中，可以使用`fminsearch`和`fminunc`这两个函数来寻找一元或多元函数的极小值点。在【例4.7.2-1】中，我们遇到的是Rosenbrock's "Banana" 测试函数，这是一个常用于检验优化算法性能的函数，因其图形具有一片浅谷而闻名，很多算法在处理这个函数时会遇到困难。 首先，我们使用`fminsearch`函数，这是一个基于Nelder-Mead简单形法的无梯度优化算法。在代码（1）中定义了函数`ff`，然后在（2）中以初始值`x0`作为起点进行搜索。经过85次迭代和159次函数评估，`fminsearch`找到了一个极小值点`sx`，对应的函数值为`sfval`。退出状态`sexit`为1，表示优化成功。 接着，尝试使用`fminunc`函数，这是一个基于信赖域方法的优化工具，通常需要函数的梯度信息。当没有提供梯度时，它会退化为使用线性搜索。在代码（3）中，由于未提供梯度，`fminunc`给出了警告并自动切换到线性搜索方法。尽管如此，它仍然能够找到一个极小值点`ux`，函数值`sfval`更小，表示找到了一个更优的解。`fminunc`的退出状态同样是1，表明优化成功。输出还包括了迭代次数、函数评估次数和其他一些优化过程中的信息。 关于数值积分，这是计算函数在一定区间上的定积分的一种近似方法，特别适用于解析积分困难的情况。MATLAB提供了丰富的数值积分工具，如`quad`函数用于一维积分，`quad2d`和`quadgk`等函数用于二维和高维积分。数值积分通过将积分区间划分为小段，然后对每个小段应用积分近似公式，如梯形法则、辛普森法则等，最后将所有近似值相加得到总积分值。 在实际应用中，数值积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，例如在电磁学中计算电感器或变压器的磁场能量，或者在金融中计算复杂的衍生品价值。MATLAB的数值积分功能强大且易于使用，使得这些复杂的计算变得简单。 第一章的基础准备和入门部分介绍了MATLAB的安装、启动及其核心组件——指令窗的使用。MATLAB的Desktop操作桌面是用户与软件交互的主要界面，包括历史指令窗、当前目录浏览器、工作空间浏览器、内存数组编辑器等，这些工具极大地提高了工作效率。对于新用户，熟悉这些界面和基本操作是掌握MATLAB的第一步。通过实例展示了如何在指令窗中进行基本的算术运算、矩阵操作，以及矩阵的分行输入等。 MATLAB是一个强大的数学计算和数值分析平台，对于数值积分和函数极值点的求解提供了高效的方法，同时也为用户提供了直观易用的交互环境。