北京大学ACM/NOIP课程详解：二分查找算法及其应用

在北大ACM/NOIP课程中，二分法是一种核心的算法思想，用于解决搜索、查找和排序问题。二分查找法（Binary Search）是一种高效的数据结构搜索算法，尤其适用于已排序数组，如整型数组。它的基本原理是通过不断将待查找区间减半来定位目标值，从而达到在最坏情况下只需对数时间复杂度O(log n)完成查找。 首先，我们来看一个经典的二分查找实例。假设有一个1-1000的整数范围，A希望通过最少的问题次数找出他们心中想的数字，B进行猜测。B每次询问会让A回答是或否，二分查找法指导B从中间位置开始，每次询问都将猜测范围缩小一半，比如先问是否大于500，接着是625等，这样只需10次询问就能找到答案。这个过程展示了二分查找的优势在于快速缩小搜索范围，避免了线性搜索的盲目尝试。 在编程实践中，二分查找被广泛应用。例如，`BinarySearch`函数接收一个从小到大排列的整数数组`a`，目标值`p`，通过计算中间元素下标`mid`（即`int mid = L + (R - L) / 2`），判断`p`与`a[mid]`的关系，然后更新查找区间的边界，直到找到`p`或区间为空。这个函数的时间复杂度为O(log n)，意味着随着数组大小增加，查找所需的时间成对数增长。 另一个相关函数是`LowerBound`，它查找的是比给定整数`p`小的数组中最大元素的下标，同样遵循二分查找原则。不同之处在于当`a[mid]`大于等于`p`时，更新右边界；否则，将`lastPos`设置为`mid`并更新左边界，直至找到满足条件的元素或者区间为空。`LowerBound`函数也保持了O(log n)的复杂度。 在实现时需要注意，为了避免整数溢出，计算`mid`时应采用`(L+R)/2`而非`L+R-1`。这是因为二分查找依赖于对称性，正确地计算中间位置至关重要。 北大ACM/NOIP课程中的二分法教学涵盖了基础概念、应用场景以及其实现细节，包括二分查找法的原理、`BinarySearch`和`LowerBound`函数的编写，这些都是算法竞赛和日常编程中不可或缺的技巧，对于提升查找效率和优化程序性能有着显著作用。学习者通过实践这些方法，能够更好地理解和运用这一高效算法。