主成分分析PCA详解与Matlab实现

"该文档是关于主成分分析(PCA)的原理和Matlab实现的教程，旨在帮助读者理解和应用PCA进行数据分析。" 主成分分析（PCA）是一种统计学方法，其核心目标是将高维度数据转换为一组低维度的线性组合，这些组合被称为主成分。主成分分析的主要优点在于它能减少数据的复杂性，同时最大化保留原始数据中的方差信息。在PCA中，数据被投影到一个新的坐标系中，这个新坐标系的轴是由原数据集的特征向量决定的，这些特征向量按对应特征值（方差）的大小排序。 PCA的实施通常包括以下几个步骤： 1. 数据预处理：首先，需要对数据进行标准化，确保所有变量在同一尺度上，这可以通过减去均值和除以标准差来实现。 2. 计算相关系数矩阵：接下来，构建数据的相关系数矩阵，该矩阵反映变量之间的相互关联程度。 3. 求解特征值和特征向量：对相关系数矩阵进行特征分解，得到特征值λi和对应的特征向量。特征值表示每个主成分的方差，特征向量指示了主成分的方向。 4. 特征值排序：按照特征值的大小对它们进行排序，大的特征值对应于包含更多信息的主成分。 5. 主成分计算：选择前k个具有最大特征值的特征向量，它们构成新的基，数据点可以表示为这些主成分的线性组合。每个主成分的方差贡献率定义为对应特征值与总方差之比，通常选取累计贡献率超过85%的主成分。 6. 应用PCA：最后，将原始数据投影到由这些主成分构成的空间中，生成新的低维度数据表示。 在Matlab中，执行PCA可以使用内置的函数`princomp`或自定义函数。给定的Matlab源程序`pca.m`可能是一个自定义实现，它接受一个混合数据矩阵`mixedsig`，输出的是主分量矩阵`y`。这个函数适用于n个信号在T个时间点的采样数据，返回的结果`y`是主成分表示的新数据。 PCA在许多领域都有广泛的应用，如机器学习、图像分析、生物信息学等，因为它能有效地降低数据复杂性，同时保持大部分原始数据的信息。在实际应用中，PCA不仅可以用于数据降维，还可以用于异常检测、特征提取以及数据可视化等任务。