一维奇异摄动问题的高阶LDG/CFEM耦合方法一致性分析

"祝鹏和谢胜兰发表的‘一维奇异摄动问题高阶LDG/CFEM耦合方法的一致收敛性分析’是一篇首发论文，主要研究了一维对流扩散型奇异摄动问题的数值解法。文章中，作者在Shishkin网格的基础上，探讨了使用高次元的局部间断有限元方法（LDG）和有限元方法（CFEM）耦合策略的求解方法，并分析了这种方法的一致收敛性。" 在这篇论文中，研究的核心是奇异摄动问题，这类问题在物理、工程等领域中广泛存在，其特点是解在某些特定区域会出现剧烈变化，使得数值求解时面临挑战。对流扩散型问题结合了对流和扩散两种现象，通常出现在流体动力学、传热学等问题中。 LDG方法是一种局部间断的数值方法，允许在元素内部的解不连续，这有助于处理具有复杂边界条件或非平滑解的问题。而CFEM则是经典的有限元方法，它通过连续函数来逼近解，适合处理线性和非线性问题。论文提出将这两种方法耦合，以利用它们各自的优点，提高对奇异摄动问题的求解精度。 论文中，作者选取了k次分片多项式（k≥1）作为近似空间，并在Shishkin网格上进行分析。Shishkin网格是一种特别设计的网格，能够有效处理奇异摄动问题中的边界层效应，其特点是靠近奇异点的地方网格更密，有助于改善数值解的精度。 通过理论分析，论文得出了在能量范数下的误差估计，证明了当网格单元数为N时，该耦合方法的一致收敛率是O((N−1lnN)k)。这一结果表明，即使在问题的奇异区域，随着网格细化，误差会以一种可控的方式减小，从而提供了数值解的稳定性保证。 在数值实验部分，作者进一步验证了理论分析的结果，通过具体的算例展示了所提方法的有效性和高阶一致收敛性。这些实验结果不仅支持了理论分析，也为实际应用提供了指导。 这篇论文对一维奇异摄动问题的数值解法做出了重要贡献，提出的高阶LDG/CFEM耦合方法在Shishkin网格上的应用为解决此类问题提供了一种新的、高效的工具。其一致收敛性的分析和数值实验结果对于数值计算和工程实践具有重要参考价值。