二叉树理论与习题解析

"数据结构 第6章二叉树" 二叉树是数据结构中的一个重要概念，它是一种特殊的树形结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。本章主要探讨了二叉树的相关性质、形态以及操作。 在二叉树的自我测试卷中，涉及到了一些基本的二叉树理论知识： 1. 一个拥有n个节点的二叉树，若使用二叉链表存储，会有n-1个非空指针域。这是因为除了根节点外，每个节点都有两个可能的子节点链接，但不是所有节点都有两个子节点，所以非空指针域少于节点数。 2. 并非所有二叉树中每个节点的两棵子树高度差都等于1，这个陈述是错误的，因为二叉树的形状可以非常不规则。 3. 二叉树中的子树顺序并不总是有序的，只有特定类型的二叉树如二叉排序树才具有这样的性质。 4. 二叉树的节点可以有两棵非空子树，两棵空子树，或者一棵非空一棵空，这取决于树的形态。 5. 在二叉排序树中，节点的键值关系满足上述条件，但在一般二叉树中并不一定。 6. 所有节点个数为2^k-1-1的二叉树是满二叉树，但不是所有二叉树都满足这个关系。 7. 存在没有非空左子树的节点并不代表不存在非空右子树，这取决于具体树的结构。 8. 非空二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点，这是满二叉树的特性。 9. 使用二叉链表法存储时，n个节点的二叉树会有n+1个空指针，因为每个节点都有两个指针域，而最后一个节点的两个指针通常都是空的。 10. 完全二叉树的性质指出，12个节点的完全二叉树会有5个度为2的节点。 填空部分涉及到的具体计算和二叉树的形态： 1. 3个节点的二叉树有4种形态：两个叶节点和一个根节点，一个叶节点和两个非空子节点，一个根节点和两个相同深度的子树，以及一个满二叉树（3个节点都在同一层）。 2. 深度为6的满二叉树有6个分支节点（即度为2的节点）和1个叶子节点（第6层的唯一节点）。 3. 257个节点的完全二叉树深度为log2(257)+1，因为完全二叉树的节点数与深度的关系是2^(d-1) <= n < 2^d。 4. 700个节点的完全二叉树，根据完全二叉树的性质，叶子节点数可以通过n = 2^d - 1 + f 计算得出，其中f是叶子节点数，d是深度。 5. 1000个节点的完全二叉树，叶子节点数、度为2的节点数、只有一个非空子树的节点数等可以通过类似方法计算。 6. k叉树的最大深度是n-1（所有节点都在同一层），最小深度是1（完全线性结构）。 7. 后序遍历的次序是LNR，若已知前序和中序序列，可以推导出后序序列。 8. 中序遍历的递归算法平均空间复杂度是O(logn)，因为递归调用的深度通常与树的高度相关。 9. 构造哈夫曼树并计算带权路径长度需要构建最优二叉树，即哈夫曼树。 选择题部分主要考察二叉树的基本定义和分类： 1. 不含任何节点的空树既是一棵树，也是一棵二叉树，因为它符合二叉树的定义，即至少有一个节点的集合。 这些内容涵盖了二叉树的基本概念、性质、形态和操作，包括了满二叉树、完全二叉树、哈夫曼树、二叉链表存储、遍历方法、树的层次节点数以及二叉树的定义等多个方面，对于理解和掌握二叉树有着重要的作用。