线性空间与矩阵理论：维数、基、坐标与子空间

"矩阵序列与矩阵级数-矩阵论引论北航出版社第二版复习" 本文主要探讨了线性代数中的重要概念，包括线性空间、维数、基与坐标，以及线性子空间，这些都是矩阵序列与矩阵级数理论的基础。在复习期末考试时，这些知识将对理解和解决问题至关重要。 首先，线性空间是一个集合，它包含加法和数乘运算，并且这两个运算必须满足特定的代数性质。例如，线性空间内的任何向量加上零向量结果仍然是该向量，任何向量与标量的乘积也是线性空间内的元素。线性空间的维数是指其中线性无关向量的最大数量，它是线性空间的一个基本属性。一组基是由线性无关的向量组成的集合，能够张成整个线性空间，这意味着空间中的每个向量都可以唯一地表示为基向量的线性组合。如果一个线性空间的任意向量都能由特定的n个线性无关向量线性表示，那么这n个向量就构成了一组基，并且空间的维数是n。 关于坐标，设给定一组基，空间中的任意向量可以写成基向量的线性组合，组合的系数就是向量在这组基下的坐标。若向量α在基下的坐标表示为矩阵T，那么当且仅当T可逆时，这组基仍然是线性空间的一组基。线性变换可以通过基向量表示为矩阵，并通过矩阵乘法实现向量的转换。 其次，线性子空间是线性空间的子集，它自身也是一个线性空间。一个非空子集是线性空间的子空间当且仅当它的闭合于加法和标量乘法操作之下。线性子空间的生成集是一组向量，它们的线性组合构成子空间的所有元素。例如，如果W是由向量集合s生成的，那么W中的每个元素都是s中向量的线性组合。此外，两个向量集合等价意味着它们生成相同的子空间，即它们的生成子空间有相同的维数和基。 最后，讨论了线性子空间的交集与直和。两个线性子空间的交集仍然是一个线性子空间，而它们的直和表示的是所有属于其中一个子空间但不属于另一个子空间的向量的集合。如果两个子空间没有共同的元素，它们的直和就是它们的并集，这在矩阵序列与矩阵级数的讨论中是非常重要的。 总结起来，理解和掌握线性空间的基本性质、维数、基的概念，以及线性子空间的构造和性质，对于深入学习矩阵序列与矩阵级数至关重要。这些基础知识是矩阵论的基石，对于解决涉及矩阵运算、线性变换和向量空间的问题至关重要。在准备期末考试时，应重点复习这些概念，通过实例练习来加深理解并提高应用能力。