徐煜森实验报告5：Jacobi与Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

本篇实验报告由徐煜森撰写，学号PB16110173，主要探讨了线性方程组的求解方法，特别是使用了Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。这两个算法在数值分析中属于迭代解法，特别适用于那些难以直接通过矩阵求逆来解决的线性系统。 首先，实验的核心内容是算法分析，即如何利用这些迭代方法来逼近线性方程组的解。Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都属于迭代过程中的迭代型求解策略，它们不依赖于矩阵的逆，而是通过对系数矩阵进行多次迭代更新，逐步接近真实解。这种方法对于大规模稀疏矩阵尤其有利，因为在实际问题中，很多矩阵的逆可能非常复杂或难以计算。 在Jacobi迭代法的实现中，代码首先初始化解向量x和上次迭代的结果last，然后在一个循环中进行迭代。在每次迭代中，算法会更新每个未知数的值，通过减去与该元素所在行无关的其他元素乘积，并除以其当前行的主元（即自元素）。当x向量与last向量之间的无穷范数小于等于10^-5时，认为迭代收敛，结束迭代。 同样，Gauss-Seidel迭代法的实现也非常相似，只是在更新过程中会考虑到邻近元素的影响，即在更新某个未知数时，会先用已知的更精确的邻近元素值。这个算法通常比Jacobi方法收敛速度更快，但也可能在某些特定情况下导致迭代不稳定。 实验报告还强调了选择这两种方法的原因，即对于易于求逆的矩阵，直接求解更为高效，而迭代法的优势在于处理复杂的、难以求逆的矩阵系统。通过编写和运行这些迭代算法，学生能够深入理解并实践线性代数中的核心概念，以及迭代方法在实际问题中的应用。 总结来说，徐煜森在这份实验报告中展示了迭代求解线性方程组的基本原理，包括两种迭代算法的数学基础、代码实现以及收敛条件的设定。这对于理解和掌握数值分析方法以及在工程或科研项目中处理大型线性系统的优化求解具有重要的指导意义。