MATLAB LMI工具箱：状态反馈控制与稳定性分析

"这篇资源主要介绍了如何在MATLAB中使用LMI工具箱来解决线性矩阵不等式问题，特别是针对系统稳定性分析和控制器设计的应用。通过一个具体的例子展示了如何设置和求解线性矩阵不等式，以及如何从中提取控制律。” 线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequalities，LMI）是控制系统理论中的一个重要工具，用于分析和设计系统的稳定性。MATLAB的LMI工具箱提供了一个便捷的平台，用于处理这类问题。 在描述的示例中，讨论了一个状态反馈控制律的设计问题。给定的系统模型是一个线性动态系统，表示为： \[ \dot{x} = Ax + Bu \] 其中，\( x \) 是状态向量，\( A \) 是系统矩阵，\( B \) 是输入矩阵，\( u \) 是控制输入。目标是设计一个状态反馈控制器 \( u = Kx \)，使得闭环系统渐进稳定。 为了确保闭环系统的稳定性，我们需要找到一个反馈矩阵 \( K \)，使得以下LMI条件成立： \[ P = \begin{bmatrix} X & AX + BK \\ (AX + BK)^T & A^TXA + BKX + XA^T + BB^T \end{bmatrix} \geq 0 \] 其中，\( P \) 是一个正定矩阵，\( X \) 是一个未知的正定矩阵，\( W = KX \)。这个不等式保证了闭环系统的Lyapunov函数存在，从而保证系统的稳定性。 在MATLAB中，我们首先使用 `setlmis([])` 清除当前的LMI设置，然后用 `lmivar` 创建LMI变量 `X` 和 `W`，它们分别对应于矩阵 \( X \) 和 \( KX \)。接着，通过 `lmiterm` 函数添加LMI的各个项，如 `AX + XA'`、`BW + WB'` 和一个负系数的 \( X \) 项，以构建完整的LMI表达式。最后，使用 `getlmis` 获取LMI系统，`feasp` 求解可行性问题，得到解后，通过 `dec2mat` 将解转换为实际的矩阵形式，进而计算出控制器 \( K \)。 总结起来，这个资源提供的知识点包括： 1. LMI工具箱的基本使用，包括设置LMI环境、定义矩阵变量、添加LMI项。 2. 系统稳定性分析和状态反馈控制器设计的LMI方法。 3. 使用MATLAB编程求解LMI问题的具体步骤。 4. 如何从LMI求解结果中提取所需的控制器参数。 掌握这些知识点，可以帮助用户在MATLAB环境下高效地进行控制系统的设计和分析。