连通图与连通分支：图论基础的关键概念

本章节主要探讨了连通图与连通分支这一核心概念，它是图论中的基础内容，尤其是在研究网络结构、算法设计以及数据可视化等领域具有重要意义。连通图是指图中任意两个顶点都通过一系列边相连，而如果不存在这样的路径，则称为非连通图或分离图。例如，完全图 Kn (当 n ≥ 1 时)总是连通图，而零图 Nn (当 n ≥ 2 时)则是分离图，因为没有两个顶点直接相连。 定义14.13 提供了连通分支的概念，它是在无向图 G = <V, E> 中，通过顶点之间的连通关系得到的商集 V/~，将其划分为若干个等价类 V1, V2, ..., Vk，每个等价类对应一个连通分支 G[Vi]。连通分支数 p(G) 表示的是这些分支的数目。如果图 G 是连通的，那么 p(G) 就是 1；反之，如果 G 是非连通的，则 p(G) 至少为 2。在所有 n 阶无向图中，n 阶零图的连通分支数最多，其连通分支数为 n。 本章节涉及图的多种概念，包括但不限于： 1. 图的基本定义：无向图和有向图分别被定义为有序二元组，其中无向图的边集是无序积 V&V 的多重子集，而有向图的边集是 V×V 的多重子集。 2. 顶点和边的概念：顶点集 V 和边集 E 是图的基本组成部分，它们的大小决定了图的阶数。有向图和无向图的区别在于边的方向性。 3. 图的表示：图形形式是直观理解图的重要手段，通过圆圈和连线来表示顶点和边的关系。 4. 图的连通性性质：对于图的连通性和非连通性，理解顶点间的可达性对于分析网络结构至关重要。 5. 子图和补图的概念：子图是原图的一部分，补图则是原图中没有边的那些边所组成的图。 6. 完全图与正则图：前者是所有顶点之间都有边相连的图，后者则指每个顶点的度数相同。 在学习这部分内容时，学生需要掌握图的基本构造，理解连通性和连通分支的计算，以及图的性质和操作。这不仅有助于深入理解图论，也为后续章节如图的遍历算法、最短路径算法等奠定了基础。因此，理解连通图与连通分支的概念是学好图论的关键步骤之一。