傅里叶变换详解：从级数到现代表达

傅里叶变换推导过程是一个关键的数学工具，在信号处理、图像分析、通信工程等领域中扮演着重要角色。本笔记主要围绕傅里叶级数与傅里叶变换进行深入讲解。首先，我们回顾了三角函数的正交性这一概念，这是理解傅里叶分析基础的关键，即正弦和余弦函数在给定区间内的线性组合是相互独立的，它们的内积为零，除非对于特定的频率成分。 接着，傅里叶公式被引入，它阐述了任何周期函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，这就是傅里叶级数，形式为 \( f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n \sin(nx) + b_n \cos(nx) \)。这里 \( a_n \) 和 \( b_n \) 是通过积分运算得到的系数，反映不同频率分量的强度。 笔记继续展示了如何从傅里叶级数过渡到现代意义上的傅里叶变换，这是通过将函数从时间域转换到频率域来完成的。原始的傅里叶级数仅适用于周期性函数，而傅里叶变换则可以处理非周期函数，利用积分操作将连续函数分解成不同频率的正弦和余弦分量，这由\( F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x} dx \) 表达，其中 \( F(\omega) \) 是频域中的幅度谱，\( i \) 是虚数单位。 笔记还提到了欧拉公式在傅里叶变换中的作用，它是 \( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \) 的形式，它帮助简化了复数表达，并揭示了周期性函数的复数形式与傅里叶级数的联系。此外，通过变量替换 \( x \rightarrow t \) 或者其他变换技巧，可以处理非周期函数的傅里叶变换问题。 最后，笔记指出当处理像 \( x(t) \) 这样的函数时，可能需要进行积分变换，例如将 \( x(t) \) 转换成 \( X(f) \) 形式，以便更有效地分析其频域特性。这涉及到对 \( x(t) \) 乘以适当的周期函数后进行积分，以提取各个频率成分的贡献。 本笔记详细介绍了傅里叶变换的推导过程，从三角函数的正交性出发，逐步引导读者理解傅里叶级数的原理、傅里叶变换的定义，以及在实际应用中的换元积分技巧，对于理解和掌握信号处理中傅里叶分析的核心概念非常有价值。建议学习者在阅读笔记的同时，结合Dr.-Can的视频教程，以加深理解并提高实践能力。