一维非稳态导热问题数值解详解及边界条件应用

本文档主要探讨了一维非稳态导热问题的数值解方法，这是一个在工程热物理领域中常见的问题，特别是在能源与动力工程的计算传热学中。作者针对一维空间内的温度分布变化，不考虑空间二维或三维影响，研究了在时间上非稳态的热传导过程。 首先，文档详细介绍了问题的数学表述，即如何通过控制体积分将连续的偏微分方程转换为离散的形式。离散化过程中，非稳态项被假设为温度T随空间变量x呈阶梯式变化，并通过一阶导数随时间的变化来表示。同时，扩散项也被处理成与时间显式相关。选择合适的分段线性插值，可以进一步简化离散方程，便于数值求解。 接下来，关键步骤是确定空间步长h和时间步长Δt。空间步长通过将总长度L等分成N个相等的小段计算得出，而时间步长则基于网格Fourier数F的稳定条件，确保数值稳定性。通常，当Fourier数小于0.5时，方案被认为是稳定的。 温度矩阵的构建是核心部分，通过初始化所有节点的温度，然后应用边界条件来反映物理系统的真实情况。初始条件设定为所有点温度均为Ti，边界条件在x=0处设为To，而在x=L处设为Te。 为了实现计算，文档提到使用差分法求解离散化的温度方程，将这些方程转化为矩阵形式，便于计算机编程处理。通过inputdlg函数，用户可以设置五个输入变量，包括空间和时间步长、初始条件、边界条件等，这些变量可以根据需求调整，以观察不同参数对解的影响。 最后，文档强调了解决这类问题时需注意临界条件，特别是与稳定性相关的数值限制，如Fourier数，这关系到数值解的质量和计算的可靠性。这份报告提供了完整的理论背景和实际操作步骤，对于理解和解决一维非稳态导热问题具有重要的参考价值。