数学与线性代数填空题解析：矩阵与向量运算

本文主要涉及了线性代数中的矩阵理论及其相关知识点，包括矩阵运算、逆矩阵、行列式计算、特征值与特征向量、线性方程组的解法等。 1. 矩阵的加减运算：在向量空间中，向量的加减遵循坐标对应相加减的规则。题目中给出的例子展示了如何进行两个向量的线性组合。2α - β + γ 的结果可以通过将对应分量相加减得到，最终结果为 (1, 1, 1)𝑇。 2. 矩阵的幂及逆：矩阵乘以其逆等于单位矩阵的条件可用于求解矩阵的逆。题目中提到 A2 + 2A + 3𝑰 = 𝑂，通过移项可以得到 (A + 3𝑰)(A - 𝑰) = -6𝑰，进而求出 (A + 3𝑰)−1。 3. 线性方程组的解：对于非齐次线性方程组，如果知道两个解，可以找到基础解系，然后构造一般解。这里给出了两个解 α1 和 α2，由于系数矩阵的秩为 3，基础解系有一个向量，所以一般解形如 x = x0 + kξ，其中 x0 可以取任一已知解，ξ 为差向量，一般解中 k 是任意常数。 4. 行列式的性质：行列式的乘积性质应用于 |A−1+B| 和 |B−1+A|，以及 |A| 和 |B|，通过行列式的乘积关系求得 |B−1+A| 的值。 5. 对称矩阵及其特征值：对称矩阵的特征值都是实数，并且其特征向量可以选取为正交的。已知矩阵 A 满足 AT = A∗，根据对称矩阵的性质，所有对角元素相等，结合矩阵的行列式非零，可以求出 a11 的值。 6. 相似矩阵的性质：相似矩阵具有相同的特征值。通过求解矩阵 A 的特征多项式得到特征值，因为矩阵 B 与 A 相似，所以 B 的特征值相同。利用特征值计算 B−3游戏操作后的行列式值。 总结来说，这些题目涵盖了矩阵运算的基本概念，包括加减、乘法、逆矩阵、行列式、特征值和特征向量，以及这些概念在解决线性方程组和矩阵相似性问题中的应用。理解并掌握这些知识点是线性代数学习的重要部分，对于进一步学习高维空间的几何、概率统计、机器学习等领域都有重要作用。